2o ciclo Ayuda con modelación matemática diferencial

[rickdlima]

Hola amigos...!!! se me ha presentado este problema y me ha costado muchísimo resolverlo... uds me pueden ayudar por favor?

En un tanque cilíndrico de diámetro D y altura H se bombea agua pura a un caudal Q. El agua tiene una densidad P. En el fondo del tanque hay una salida de agua, cuyo flujo Qs es función de la ultura ∆h del agua en el tanque de acuerdo a la siguiente relación:

Qs = (Cv) [(∆h/P)^1/2]

Si la simulación comienza con el tanque a la mitad de su capacidad lleno de agua. Derivar una ecuación diferencial que relaciones el volumen de agua en el tanque con el tiempo. ¿Será posible obtener una ecuación integrada?. Cv es constante y ∆h es respecto al suelo.

[polonio]

Re: Ayuda con modelación matemática diferencial

Lo que varía la masa en el tiempo es:

$\frac{dm}{dt}=Q-Q_s$

Por otra parte, la masa que tienes cuando la altura es $h$ (voy a llamarla así, sin el incremento):

$m\,=\, \int_V \rho dV \, = \, \rho \pi (\frac{D}{2})^2 h$

Así, la ecuación diferencial para la altura sería:

$\frac{1}{4}\pi \rho D^2 \frac{dh}{dt}=Q-C_v \sqrt{\frac{h}{\rho}}$

con la condición inicial:

$h(t=0)=\frac{H}{2}$

Sigue por ahí (ojo con la raíz: pasa $Q$ al otro miembro de la ecuación y trabaja con el cuadrado; creo que así te será más fácil).

[Fastolfe]

Re: Ayuda con modelación matemática diferencial

Hola amigos...!!! se me ha presentado este problema y me ha costado muchísimo resolverlo... uds me pueden ayudar por favor?

En un tanque cilíndrico de diámetro D y altura H se bombea agua pura a un caudal Q. El agua tiene una densidad P. En el fondo del tanque hay una salida de agua, cuyo flujo Qs es función de la ultura ∆h del agua en el tanque de acuerdo a la siguiente relación:

Qs = (Cv) [(∆h/P)^1/2]

Si la simulación comienza con el tanque a la mitad de su capacidad lleno de agua. Derivar una ecuación diferencial que relaciones el volumen de agua en el tanque con el tiempo. ¿Será posible obtener una ecuación integrada?. Cv es constante y ∆h es respecto al suelo.

Hola, es evidente que una de las relaciones ya te fue dada segun el enunciado (Qs), pero te estan pidiendo la variacion del volumen con respecto al tiempo, lo dicho por polonio es absolutamente correcto, pero se debe aclarar que en la mayoria de estos ejercicios estamos frente a un caudal volumetrico, a menos que se diga lo contrario. Por lo tanto, el ejercicio te puede quedar como una EDO de variables separables siguiendo las siguientes consideraciones:

1. teniendo $\displaystyle \Delta h=\frac{V}{A}\to Q_s=C_v\cdot\sqrt{\frac{V}{\rho A}}$

2. lo dicho por polonio solo algo modificado $\displaystyle\dfrac{dV}{dt}=Q-Q_s\to \dfrac{dV}{dt}=Q-C_v\cdot\sqrt{\frac{V}{\rho A}}$

Sin mas que agregar, el resto corre por cuenta tuya, suerte.

[polonio]

Re: Ayuda con modelación matemática diferencial

Muy bien por la puntualización de Fastolfe. Yo he tomado caudal másico porque me he encontrado habitualmente con problemas de este tipo, pero puera ser caudal volumétrico. Mira bien lo que te dan (las unidades de la cte. $C_v$).