Otras carreras Ayuda con un problema de Ecuadiciones Dif.

[KaryTanis]

Hola. Recién he empezado con ecuaciones diferenciales. Todavía soy un novato, por lo que aún tengo problemas con lo más sencillo. De hecho, he empezado a estudiarlas por mi propia cuenta, dado que todavía no empiezo la uni.

El problema es el siguiente:

Un esquiador de agua (W) se sujeta mediante una cuerda de longitud L a un bote de motor (M). El esquiador comienza en (0, 1) sobre el eje y, mientras que el bote comienza en un punto sobre el eje x, y se mueve hacia la derecha. El esquiador viaja a lo largo de una curva que recibe el nombre de tractiz. Encuentre una ecuación diferencial para esta curva y resuélvala para encontrar la ecuación de la curva. (Idea: la cuerda se encuentra siempre tangente a la curva).

A continuación, en el libro, aparece un pequeño trazo del problema en cuestión. No es muy difícil imaginar. L, va desde W hasta M formando un triángulo rectángulo. Y también hay una flecha indicando la curva. Nada más.

Según el libro, la respuesta debe ser:

$\frac{dy}{dx} = - \frac{y}{\sqrt{L^2 - y^2}}$

$x = L \cdot ln (\frac{L + \sqrt{L^2 - y^2}}{L + \sqrt{L^2 - 1}}) - L \cdot lny - \sqrt{L^2 - y^2} + \sqrt{L^2 - 1}$

Por si les interesa, he intentado algo, pero no creo que esté bien...


Por teorema de Pitágoras...
$L = \sqrt{x^2 + y^2}$

$x = \sqrt{L^2 - y^2}$

$dx = - \frac{y}{\sqrt{L^2 - y^2}}$

Que creo que es algo parecido al resultado, pero si intentara resolver la ecuación diferencial:

$\frac{dy}{dx} = - \frac{y}{\sqrt{L^2 - y^2}}$


$\int \frac{\sqrt{L^2 - y^2}dy}{y} = \int dx$

Aquí se me dificultaría si resolviera el miembro izquierdo, pero en fin, ¿un cable?

[carroza]

Re: Ayuda con un problema de Ecuadiciones Dif.

Hola

Prueba el cambio $y = L \cos{\theta}$