1r ciclo Oscilaciones (no pequeñas)

[jorgext]

Hola,

Me gustaría saber si existe solución analítica para la ecuación diferencial:

$\dfrac{d^2 \theta}{d t^2} + \omega^2 \cos{\theta}=0$

Saludos cordiales.

Jorge.

[Metaleer]

Re: Oscilaciones (no pequeñas)

Hola.

Voy a reformular tu pregunta.

Se trata de resolver la siguiente EDO:

$\displaystyle \dfrac{d^2 \theta}{d t^2} + w^2 \cos{\theta}=0.$

Si pensamos en términos de magnitudes dinámicas angulares, $\displaystyle \dfrac{d^2 \theta}{d t^2}$ será la aceleración angular, así que

$\displaystyle \dfrac{d^2 \theta}{d t^2} + w^2 \cos{\theta}=0 \Rightarrow \frac{d \omega}{dt} = -w^2 \cos \theta \Rightarrow \omega d \omega = -w ^2 \cos \theta d \theta \Rightarrow \frac{\omega ^2}{2}=$

$= -w ^2 \sin \theta + C \Rightarrow \omega = \sqrt{K - 2 w^2 \sin \theta}.$

Como $\displaystyle \omega = \frac{d \theta}{dt}$,

$\displaystyle \sqrt{K - 2 w ^2 \sin \theta} = \frac{d \theta}{dt} \Rightarrow \int dt = \int \frac{d \theta}{\sqrt{K - 2 w ^2 \sin \theta}} \Rightarrow t = \int \frac{d \theta}{\sqrt{K - 2 w ^2 \sin \theta}},$

pero esta última integral resulta ser

$\displaystyle \int \frac{d \theta}{\sqrt{K - 2 w ^2 \sin \theta}} = -\frac{2 \sqrt{\frac{K-2 w ^2 \sin (\theta )}{K-2 w ^2}}<br /> F\left(\frac{1}{4} (\pi -2 \theta ),-\frac{4 w ^2}{K-2 w<br /> ^2}\right)}{\sqrt{K-2 w ^2 \sin (\theta )}} + \text{constante},$

donde $F$ es la integral elíptica de primera especie. Así que puedes ver que solución en términos de funciones elementales parece que no hay.

He intentado despejar $\theta$ de aquí, y Mathematica lo expresa en función de una cosa que se llama $\text{JacobiAmplitude}$, que es la función inversa de la integral elíptica de primera especie.

Saludos.

[jorgext]

Re: Oscilaciones (no pequeñas)

Muchas gracias por tu respuesta, me has ayudado bastante, sin embargo, tengo una duda: ¿existe una inconsistencia en el tercer paso que has realizado?

[Metaleer]

Re: Oscilaciones (no pequeñas)

Muchas gracias por tu respuesta, me has ayudado bastante, sin embargo, tengo una duda: ¿existe una inconsistencia en el tercer paso que has realizado?

No he enumerado los pasos, tienes que decirme a qué paso te refieres.

Bueno, a lo mejor te refieres a que he mezclado las variables con las constantes que tienen letra $\omega$; ya está corregido, $\omega$ es la variable y $w$ es constante.

[jorgext]

Re: Oscilaciones (no pequeñas)

Creo que ya entendí la resolución del problema. Aún así, tengo la siguiente duda.
Físicamente, la constante que acompaña al coseno de theta, se llama frecuencia angular, no se tendrían entonces:

$\omega = w = \dfrac{d\theta}{dt}$

Cambiando la ecuación diferencial. Así yo llego a la solución:

$t = A \int \sqrt{\sin{\theta}} d\theta + B$

La integral resulta ser elíptica también, lo que se esperaría de este problema. ¿no?

[Metaleer]

Re: Oscilaciones (no pequeñas)

Creo que ya entendí la resolución del problema. Aún así, tengo la siguiente duda.
Físicamente, la constante que acompaña al coseno de theta, se llama frecuencia angular, no se tendrían entonces:

$\omega = w = \dfrac{d\theta}{dt}$

Cambiando la ecuación diferencial. Así yo llego a la solución:

$t = A \int \sqrt{\sin{\theta}} d\theta + B$

La integral resulta ser elíptica también, lo que se esperaría de este problema. ¿no?

No me estás entendiendo, antes me equivoqué y usé la misma letra para la variable $\omega$, y $w$, pero modifiqué la EDO para tener:

$\displaystyle \dfrac{d^2 \theta}{d t^2} + w^2 \cos{\theta}=0,$

con el fin de usar $\omega$ (omega) que sí es variable y sí es igual a $\displaystyle \frac{d \theta}{dt}$, y para que no se confundiera con $w$ (uve doble) que sí es constante y es como dices la frecuencia angular.

[juantv]

Re: Oscilaciones (no pequeñas)

Si, el problema se reduce al calculo de una integral eliptica de primera especia, que no es tan dificil de resolver, se puede emplear el teorema de newton generalizado y proceder con series de Taylor