1r ciclo Acabar ecuación de Bernouilli

[pherving]

Estoy intentando resolver una ecuación diferencial, pero estoy un poco atascada. Escribo hasta donde he llegado, y agradeceria que me echarais una mano para poder acabarla:

$m\displaystyle\frac{dv}{dt}=e^{-(\beta)t}v^3-(\phi)v$

Esta es una ecuación de Bernouilli, ya que se puede escribir de la forma:

$\displaystyle\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n$

Asi que habra que hacer el cambio de variable: $v=u^{-2}$
Y a partir de aqui es donde necesito que me guieis.
Muchas gracias

[Juanma1976]

Re: Acabar ecuación de Bernouilli

Hola, la idea es, antes de hacer el cambio de variable dividir por $v^3$ y entre $m$:

$v^{-3}\frac{dv}{dt}+\frac{\phi}{m}v^{-2}=\frac{e^{-\beta t}}{m}$

Ahora, el cambio $u=v^{-2}$, $v^{-3}\frac{dv}{dt}=-\frac{1}{2}\frac{du}{dt}$. Si sustituyes en la ecuación, te queda una de primer orden.

A partir de aquí, yo lo haría por variación de constantes.

Un saludo.

$\frac{du}{dt}-2\frac{\phi}{m}u=-2\frac{e^{\beta t}}{m}$

Estoy intentando resolver una ecuación diferencial, pero estoy un poco atascada. Escribo hasta donde he llegado, y agradeceria que me echarais una mano para poder acabarla:

$m\displaystyle\frac{dv}{dt}=e^{-(\beta)t}v^3-(\phi)v$

Esta es una ecuación de Bernouilli, ya que se puede escribir de la forma:

$\displaystyle\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n$

Asi que habra que hacer el cambio de variable: $v=u^{-2}$
Y a partir de aqui es donde necesito que me guieis.
Muchas gracias

[lucass]

Re: Acabar ecuación de Bernouilli

Hola.
En Bernoulli hacés $u=v^{1- \alpha}$ (en tu caso alfa=3) entonces $u'=(1-\alpha)v^{-\alpha}v'$
Multiplicas entonces la ecuación por $(1-\alpha)v^{-\alpha}$
La ecuación es $v'+P(t)v=Q(t)v^{\alpha}$ Luego de multiplicar queda
$u'+(1-\alpha)P(t)u=(1-\alpha)Q(t)$
Es decir queda una lineal en u. Resolvés y después reemplazas para obtener v.
Espero que se entienda.
Saludos