1r ciclo ecuación dieferencial

[alespa07]

Hola. seguramente es una chorrada pero hoy voy un poco espeso. Me trabo con la siguente ecuación diferencial:

$\displaystyle\frac{d^2\theta}{dt^2}=\alpha\sin\theta$

con $\alpha$ constante. De verdad que hoy no lo veo y me hago un cacao. Si alguien me ouede poner sobre el camino se lo agradecería.

Saludos.

[Metaleer]

Re: ecuación dieferencial

Hola.

Esa ecuación diferencial no es lineal, lo que hace algo trabajosa la obtención de una solución.

Revisa este hilo, ahí se propone una ecuación diferencial ordinaria no lineal bastante parecida y se demuestra que la solución general no se puede expresar en términos de funciones elementales, cosa que seguramente ocurrirá aquí también por el aspecto de la EDO.

Saludos.

[alespa07]

Re: ecuación dieferencial

Hola Metaleer. Muchas gracias por tu respuesta. Un amigo mío estaba tratando de resolver un problema típico de sólido rígido. Se trata de una escalera apoyada a una pared sobre la cual ejercemos una fuerza en su base para imprimirle una velocidad constante. Mi desarrollo era, en resumidas cuentas el siguiente:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Con I el centro de inercia de la escalera respecto del centro de rotación que es: $I=\displaystyle\frac{1}{3}mL^2$ (se puede hallar por integración o conociendo el momento de inercia en el centro de masas y usando el teorema de Steiner).
Nuestra intención es conocer $N_p$ para saber cuando la escalera dejará de tener contacto con la pared. Para ello, nos fijameos en que mientras haya contacto, la posición del punto de contacto con el suelo es $x=L\sin\theta$ por lo que:

$v_0=\displaystyle\frac{d(L\sin\theta)}{dt}=L\cos\theta\displaystyle\frac{d\theta}{dt}\Longrightarrow{v_0^{\prime}=0=-L\sin\theta\left(\displaystyle\frac{d \theta}{dt}\right)^2+L\cos\theta\displaystyle\frac{d^2\theta}{dt^2}}$

Despejamos [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] de la última ecuación y sustituyendo con la anterior obteniendo:

$\theta^{\prime\prime}=\displaystyle\frac{v_0^2\sin\theta}{L^2\cos^3\theta}$

Ahora, podemos depejar la normal a pared como queríamos de la primera ecuación:

$N_p=\displaystyle\frac{1}{2}mg\tan\theta\left(1-\displaystyle\frac{2v_0^2}{3gL\cos^3\theta}\right)$

Aquí es donde intervienen las condiciones iniciales. Si $\displaystyle\frac{v_0^2}{gl}\geq\displaystyle\frac{3}{2}$ entonces, para cualquier tiempo la normal a la pared es negativa y la escalera pierde el contacto con la pared en $t=0$
En cambio, si $\displaystyle\frac{v_0^2}{gl}\leq\displaystyle\frac{3}{2}$ entonces, la escalera estará en contacto con la pared hasta llegar a un ángulo crítico $\theta_c$ en el cual $F_p=0\Longrightarrow{\cos^3\theta_c}=\displaystyle\frac{2v_0^2}{3gL}$ y el punto de contacto con la pared tendrá por posición:

$y_c=L\cos\theta_c\Longrightarrow{v_y=-v_0\,\sqrt[ ]{\left(\displaystyle\frac{3gL}{2v_0^2}\right)^{2/3}-1}}$

A partir de ahí, la escalera ya no esta en contacto con la pared y la ecuación del movimento es:

$\theta^{\prime\prime}=\displaystyle\frac{3g}{2L}\sin\theta$

.

con $\theta$ el ángulo entre la normal y la escalera considerada como una varrilla uniforme. Entonces, ahora me estaba preguntando que si quisieramos gráficar el movimiento de la cabeza de la escalera (el punto que estaba en contacto con la pared en un principio) podríamos encontrar una ecuación en forma analítica? En efecto, mi primer impresión era que, al desprenderse de la pared, el movimiento de la cabeza de la escalera sería uniformemente acelerado hacia abajo ( gravedad) y de velocidad constante horizontalmente dando una parábola. Pero segun lo que me has comentado sobre la ecuación diferencial, dudo de que esto sea posible.

Espero haberme explicado. Se supone que es un ejercicio de primero y me esta costando verle el punto. ¡Que desastre!

Saludos.


Ya he encontrado mi error y pude hacer la gráfica con mathematica resolviendo numéricamente la ecuación diferencial y parametrizando la distancia del punto que nos interesa con la pared. Obviamente, no sale una parábola. jejejeje. Disculpad las molestias.

Saludos.