Otras carreras Ecuacion diferencial. Ayuda por favor.

[zon]

Hola. tengo la ecuacion y^4-y^3*y´´=1 con condiciones iniciales y(0)=sqrt2 y´(0)=sqrt2/2

Para solucionarla hago y´=p e y´´=p dp/dy=p dp
Despejo y´´ y sustituyo, separo variables e integro: y^2/2 - y^-2/2 + C = p^2/2
Con las condiciones iniciales calculo C que da -1/2 creo. Sustituyo y despejo p

p=sqrt (y^4-y^2-1) luego dy= sqrt (y^4-y^2-1) dx quedando dx= dy/sqrt (y^4-y^2-1)

lo he hecho bien?
Como calculo esta integral?
Gracias de antemano.

[[Beto]]

Re: Ecuacion diferencial. Ayuda por favor.

Hola, deberías de integrar esto:

$$\dd y=\sqrt{y^4-y^2-1}\dd x$$

¿para que despejar?

[electr0n]

Re: Ecuacion diferencial. Ayuda por favor.

Puesss creo que algo falla.

Con el cambio $y'=p$ queda:

$\displaystyle y'=p\Rightarrow y''=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}{dy}{dp}=p\frac{dp}{dy}$

$\displaystyle y^4-y^3p\frac{dp}{dy}=1\rightarrow \displaystyle pdp=\left(y-\frac{1}{y^3}\right)dy$

$\displaystyle p^2=y^2+\frac{1}{y^2}+C_1\rightarrow p=\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}+C_1}$

Que yo recuerde, aquí no se puede despejar la primera constante de integración porque no aparece la variable independiente x. Hay que volver a integrar hasta llegar a la expresión y(x) con las 2 constantes de integración.

$\displaystyle p=\frac{dy}{dx}=\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}+C_1}$

$<br /> \displaystyle x=\int{\frac{dy}{\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}+C_1}}}=\int{\frac{ydy}{\sqrt{y^4+C_1y^2+1}}}<br />$

Y ahora viene cuando la matan, porque esta integral tiene una primitiva tipo logaritmo neperiano de raíz y hay que hacer unas cuantas operaciones para despejar las dos constantes que quedan...

He calculado con Mathematica y el resultado debe salir:

$<br /> \displaystyle y(x)=\sqrt{1+e^{2x}}<br />$

Saludos

[jorgext]

Re: Ecuacion diferencial. Ayuda por favor.

Según Mathematica, esa ecuación diferencial tiene 4 soluciones, ¿por qué solo encuentras una?

[electr0n]

Re: Ecuacion diferencial. Ayuda por favor.

Sí, realmente salen 4 soluciones que tienen esta forma:



pero el Mathematica añade un aviso de "solución vacía". Esto significa que no todas las soluciones permiten despejar las 2 constantes de integración.

Lo he probado directamente y el resultado es que dos de ellas no tienen solución, otra devuelve $C_1=-2$, $C_2=i\pi-ln2$ y la cuarta devuelve $C_1=-2$, $C_2=-ln2$. Si la persona que inició el hilo está estudiando en un nivel que admite soluciones complejas, podríamos decir que hay dos; pero creo que la que he puesto es la que le piden.

Saludos