Primaria Problema de probabilidad

[darioe]

Hola, este problema puede parecer trivial pero a mí me cuesta hacerlo. (Comentario: hice simulaciones con valores al azar y resultó apróximadamente P(roja)=0,334, P(verde)=0,331 y P(azul)=0,335).

Dice:una caja mágica tiene muchas (por no decir infinitas) bolas rojas, verdes y azules en la misma proporción. Se sacan 4 y resultan en este orden: roja,verde,verde,azul. Si se saca una quinta bola, ¿que probabilidades tiene de ser roja, de ser verde y de ser azul?

Explicar el desarrollo de la solución con ecuaciones.


Gracias por la atención.

[Al2000]

Re: Problema de probabilidad

¿No es 1/3 cada probabilidad? Puesto que si hay infinitas bolas no importa cuantas saques de cada color las proporciones seguirán siendo las mismas.

Saludos,

Al

[dvc]

Re: Problema de probabilidad

Si tienes infinitas bolas en la misma proporción, tras sacar 4 bolas seguirás teniendo infinitas bolas rojas, verdes y azules en la misma proporción. Por tanto, la probabilidad de que la siguiente bola sea roja, azul o verde será 1/3 para cada caso.

Saludos!

[beliytxuri]

Re: Problema de probabilidad

Corroborando todo lo dicho anteriormente, y ya que te piden ecuaciones, puedes plantear que la caja tiene 3N bolas (N rojas, N verdes y N azules) y que en la k+1-ésima extracción (antes han salido ${k}_{1 }$ rojas, ${k}_{2 }$ verdes y ${k}_{2 }$ azules, con $0\leqslant {k}_{ i}\leqslant k$ y la $\sum_{n = 1}^3 {k}_{i } =k$, la probabilidad de roja, por ejemplo, es

$<br /> P(roja)=\frac{N-{k}_{1 } }{3N-k }<br />$

que cuando $N\to \infty$, tiende a 1/3.
(Que es en lo que estamos todos de acuerdo, incluida tu simulación, darioe).

[darioe]

Re: Problema de probabilidad

Gracias por la respuesta.
El resultado de que las probabilidades de todas es igual es evidente.

Cambiando la letra del problema, si el acto de retirar una bola de la caja mágica representa generar un color al azar de los tres: rojo,verde y azul, (pero no se conoce la proporción inicial de cantidades de bolas en la caja) supongo entonces valor resultante de las probabilidades luego de retirar esas 4 es el mismo (es decir 1/3).

[beliytxuri]

Re: Problema de probabilidad

No.

En este segundo caso que planteas (el de las proporciones iniciales desconocidas) la probabilidad no tiene por qué ser 1/3. Dependería de la proporción (que desconocemos).

Esa caja mágica que planteas es como un dado que tiras una y otra vez, pero que no sabes como tiene pintadas las caras, por poner un ejemplo.

[darioe]

Re: Problema de probabilidad

beliytxuri

Re: Problema de probabilidad
No.

En este segundo caso que planteas (el de las proporciones iniciales desconocidas) la probabilidad no tiene por qué ser 1/3. Dependería de la proporción (que desconocemos).

Esa caja mágica que planteas es como un dado que tiras una y otra vez, pero que no sabes como tiene pintadas las caras, por poner un ejemplo.

Bueno, en promedio sería 1/3 para cada bola (eso quise decir) porque no se sabe lo que hay dentro de la caja. Podrían haber 72891 rojas, 765 verdes y 8 azules allí adentro, es una posibilidad pero podrían intercambiarse los papeles de roja y verde obteniendo otros resultados para las probabilidades.

Gracias por la atención.

[beliytxuri]

Re: Problema de probabilidad

No, darioe.

Esta "discusión" me recuerda un poco al viejo chiste del físico, el estadístico y el matématico que van por Escocia en un tren y ven por la ventanilla una oveja negra.
Entonces dice el físico:
-¡Anda! Aquí en Escocia las ovejas son negras.
Contesta el estadístico:
-¡No! Aquí en Escocia hay al menos una oveja negra.
Y remata el matemático:
- ¡Tampoco! Hay al menos una oveja que es negra en una de sus mitades.

Si no sabes lo que hay dentro, no puedes presuponer nada. Sólo tienes incógnitas. Y, si no dispones de algún tipo de información adicional, no puedes afirmar que son equiprobables.

De hecho, hay toda una rama de la probabilidad llamada análisis bayesiano (de Bayes) dedicada a escudriñar esos posibles "contenidos ocultos" a la vista de las extracciones, asignando diversas probabilidades a una u otra composición inicial de la caja, dependiendo de lo que se haya visto.

Un saludo.

[darioe]

Re: Problema de probabilidad

Gracias por la respuesta. Ahora entiendo que pueden existir casos en que la probabilidad
no es derterminable, quizás si lo sea un promedio de infinitos valores de probabilidad o
la probabilidad de la probabilidad.

Olvidando la caja mágica:
Generando M bolas de color al azar, Por ejemplo : roja, verde, verde, azul, verde, verde, y así sucesivamente siendo la cantidades que han sido generadas: ${k}_{1}$ rojas, ${k}_{2}$ verdes y ${k}_{3}$ azules luego de generar M bolas, sólo se sabe que:

$<br /> \displaystyle\lim_{M \to{+}\infty}{ \frac{k1}{M} } = \displaystyle\lim_{M \to{+}\infty}{ \frac{k2}{M} } = \displaystyle\lim_{M \to{+}\infty}{ \frac{k3}{M} } = \frac{1}{3}<br />$


$<br /> M=({k}_{1}+{k}_{2}+{k}_{3})<br />$

De acuerdo a lo que me dijiste, luego de M bolas generadas no es posible determinar (en función de la lista de color de bolas producida) P(rojo), ni P(verde), ni P(azul). ¿Es esto cierto?

[beliytxuri]

Re: Problema de probabilidad

Sí. Es correcto. Utilizando tu lenguaje sólo se podría hablar de la "probabilidad de la probabilidad" o en términos más técnicos la "probabilidad compuesta". La idea es la misma.

En mis tiempos este tipo de problemas se daba en COU.

Un ejemplo clásico de ésto que estamos hablando:
En una caja se sabe que hay 7 bolas entre negras y blancas. Se sacan 2 bolas y resultan las dos negras. ¿Cuál es la probabilidad de que inicialmente en la caja haya 4 bolas blancas y 3 negras?

(Fácilmente se ve que las composiciones (7B,0N) y (6B,1N) tienen probabilidad 0).

Ésto que escribes:

$\displaystyle\lim_{M \to{+}\infty}{ \frac{k1}{M} } = \displaystyle\lim_{M \to{+}\infty}{ \frac{k2}{M} } = \displaystyle\lim_{M \to{+}\infty}{ \frac{k3}{M} } = \frac{1}{3}<br />$

es lo que se llama "Ley de los grandes números" y es cierto, pero, como bien indicas, éso sucede cuando $M\to \infty$.

Un saludo.

[darioe]

Re: Problema de probabilidad

Supongamos que generaremos $M=30$ bolas de color al azar, y queremos saber la probabilidad de que salgan $k$ de color rojo con k<=M=30, entonces como se calcularía?

[beliytxuri]

Re: Problema de probabilidad

Supongo que seguimos con rojas, verdes y azules...¿no?

P(k rojas) = $<br /> (\frac{30}{k } ){(\frac{1}{3 }) }^{k }{(\frac{2}{3 }) }^{30-k }$

(Nota: La aberración $(\frac{30}{k } )$ representa al número combinatorio 30 sobre k, pero no sé cómo ponerlo en LATEX.)

[darioe]

Re: Problema de probabilidad

Bueno gracias , pero tengo la duda de si se podría usar la ecuación de la distribución de Poisson cuando M toma valores grandes. Sería entonces:

P(k rojas) = $e^{-M/3}*(M/3)^{k}/k!$



Esta es una tabla tomada de $P(k rojas)=\displaystyle\binom{30}{k} * (\frac{2}{3})^{30} * (\frac{1}{2})^k$


k, P(k rojas)

0, 5.0E-6
1, 7.8E-5
2, 0.000567
3, 0.002647
4, 0.008932
5, 0.023224
6, 0.048384
7, 0.082944
8, 0.119233
9, 0.145729
10, 0.153015
11, 0.139105
12, 0.110125
13, 0.07624
14, 0.046289
15, 0.024687
16, 0.011572
17, 0.004765
18, 0.001721
19, 0.000543
20, 0.000149
21, 3.6E-5
22, 7.0E-6
23, 1.0E-6
24, 0
25, 0
26, 0
27, 0
28, 0
29, 0
30, 0



(Nota: lista creada con programación Php procesado en http://www.writecodeonline.com/php/)

for($i=0;$i<=30;$i++){

echo strval($i).", ".strval( round( combi(30, $i) * pow(2/3,30) / pow(2,$i) , 6)) . '<br>';

}

function combi($n,$k){

if($n<$k){return NaN;}
return fact($n)/(fact($k)*fact($n-$k));

}
function fact($x){

$r=1;
for($i=$x;$i>=1;$i--){
$r=$r*$i;
}
return $r;

}

[beliytxuri]

Re: Problema de probabilidad

Sí. Se puede utilizar.

(Los más puristas afirman que se puede utilizar cuando $\lambda M\geqslant 100$. En nuestro caso, $\lambda M=10$. Pero para lo que nos ocupa tampoco exigimos una gran eaxctitud).
Además veo que se te da muy bien la programación lo que es una gran ventaja para estos temas de probabilidad.

Fíjate que k=10 es (como cabría esperar) el valor más probable, pero con una probabilidad de "sólo" 0'153 (como una cara en un dado, más o menos).