Otras carreras Problema con válvulas

[rusocdu]

Hola amigos! Necesitaría una mano:
Tengo el siguiente problema:
3 válvulas en serie cierran una cañeria con probabilidades de que queden abiertas de 10%, 15% y 20%. Hallar la probabilidad de que circule fluido por la cañeria.
¿Qué ocurriría si estuviesen en paralelo?

Me ayudan a plantearlo?
Gracias!

[skinner]

Re: Problema con válvulas

Hola rusocdu, voy a ayudarte a plantear el problema.

Las tres válvulas están colocadas en serie. Esto quiere decir que las tres válvulas deben estar abiertas para que circule fluido. No basta con que sólo una de ellas esté abierta (lo cual ocurriría si estuviesen en paralelo), sino que las tres deben estar cerradas.

Llamemos a la primera válvula V1; a la segunda V2; y a la tercera, V3.

La probabilidad de que V1 quede abierta es: P(V1)=10%.
La probabilidad de que V2 quede abierta es: P(V2)=15%.
La probabilidad de que V3 quede abierta es: P(V3)=20%.

Ahora bien; que la válvula 3 quede abierta, es independiente a que la válvula 2 quede abierta. En general, el hecho de que una válvula se abra, no influye sobre la posibilidad de que otra de las válvulas se abra; sin embargo abajo del todo te he propuesto un ejercicio (*) ) Si esto no lo entiendes puedes verlo con el siguiente ejemplo: tiramos una moneda dos veces, y la probabilidad de que la segunda vez me salga cara, no tiene nada que ver con que la primera vez me hubiera salido cruz, se dice que son independientes.

Por lo tanto, al ser los tres sucesos anteriores (válvulas) independientes, se dice que la probabilidad de que ocurran los 3 al mismo tiempo, es el producto de cada probabilidad por separado:

$$\boxed{P(V1\cap V2\cap V3)=P(V1)P(V2)P(V3)}$$

Sustituyendo datos: $P(V1\cap V2\cap V3)=(0.1)(0.15)(0.2)=0.003$

Es decir, la probabilidad de que circule agua por la cañería, si las tuberías están en serie, es del 0.3%

A la pregunta de qué ocurriría si estuviesen en paralelo, ya te lo dije antes: basta con que sólo una de ellas esté abierta (da igual si V1, V2 ó V3). Por lo tanto, por la propia definición de función de probabilidad:

$$\boxed{P(V1\cup V2\cup V3)=\alpha-P(V1\cap V2)-P(V1\cap V3)-P(V2\cap V3)+P(V1\cap V2\cap V3)}$$

donde $\alpha=P(V1)+P(V2)+P(V3)$ (lo siento pero LATEX no me dejaba poner expresión tan grande arriba)

Donde usando la relación de independencia nos queda:

$P(V1\cap V2)=P(V1)P(V2)=(0.1)(0.15)=0.015$
$P(V1\cap V3)=P(V1)P(V3)=(0.1)(0.2)=0.02$
$P(V2\cap V3)=P(V2)P(V3)=(0.15)(0.2)=0.03$
$P(V1\cap V2\cap V3)=\text{ calculada en apartado en serie } = 0.003$

Y sustituyéndolo todo en (2) se nos queda:

$P(V1\cup V2\cup V3)=0.1+0.15+0.2-0.015-0.02-0.03+0.003=0.388$

Es decir, si las válvulas estuviesen en paralelo, la probabilidad de que circulase fluido por la cañería ascendería (lógicamente) a un 38.8%

Ahora me gustaría plantearte el mismo problema pero con un ligero cambio.

(*)Imagina el mismo problema, pero ahora de nuevo en serie. Las válvulas V1, V2 y V3 están colocadas en dicho orden (el agua pasa por V1, luego por V2, finalmente por V3, y por último accede a la cañería). En la realidad puede ocurrir que si V1 se abre, la probabilidad de que V2 y V3 se abran, asciendan. Ahora, te pregunto: si V1 se abre, la probabilidad de que V2 y V3 se abran ascienden en un 1%, y si V2 se abre, la probabilidad de que V3 se abra incrementa en un 2% (es decir, queda al 22%). ¿Cuál es la probabilidad de que circule agua por la cañería?


Espero haberte ayudado y cualquier duda, pregunta con confianza.

Un saludo!

[beliytxuri]

Re: Problema con válvulas

El problema del paralelo un poco más simplificado que como lo hace Skinner (que es correcto).

Para que NO circule en paralelo, las tres tienen que estar cerradas:

$<br /> P(\bar{V1}\cap\bar{V2}\cap\bar{V3} ) = (1-0'1)(1-0'15)(1-0'2)=0'9.0'85.0'8 = 0'612<br />$

Luego la probabilidad de circular es 1-0'612=0'388 (el resultado de Skinner)

[skinner]

Re: Problema con válvulas

Buena resolución, no se me había ocurrido plantearlo así.

Un saludo!