1r ciclo Distribución

[Cat_in_a_box]

Hola amigos,

Estaba haciendo unos ejercicios de distribuciones de probabilidad cuando me he atascado en uno básicamente por no comprender del todo el enunciado.

Pues bien, nos dicen cuál es el intervalo de longitudes de onda que cubre la luz visible, de 400 a 700 nm. Por otro lado, nos dicen que tenemos un haz compuesto por fotones en el rango del visible cuya frecuencia se distribuye uniformemente.

El caso es que no dicen más y te preguntan por la densidad de probabilidad de encontrar fotones de determinada frecuencia. Mi pregunta es, ¿la distribución uniforme es continua o discreta? La verdad es que empecé el problema considerando que eran una distribución continua, suponiendo que los fotones pueden tomar cualquier valor de longitud de onda (aunque me parece extraño), pero este apartado ya me hizo dudar:

''¿Qué es más probable de encontrar en el haz: fotones amarillos o azules?''

Si es una distribución uniforme, ¿no se supone que todos los valores de la variable aleatoria son igualmente probables? Pensé responder eso, pero la pregunta siguiente me inquietó más: ¿y si hacemos el cálculo anterior usando las frecuencias en vez de las longitudes de onda?

Siento si esto es muy básico, pero no me quedó muy claro el enunciado y no puedo continuar sin resolver esto. ¿Qué opináis?

Muchas gracias,

[hennin]

Re: Distribución

Hola Cat. Es muy simple, verás.

Dado que te dicen que la distribución es uniforme en frecuencias, pasas las dos longitudes de ondas a frecuencias. E integras de una a otra frecuencia tal que la constante te dé uno (en definitiva, normalizar). Entonces ya tienes la función densidad en frecuencias $f(\nu)$ siendo en ese intervalo tal probabilidad y en el resto del rango cero.

La distribución es continua claramente, pero al tomar medidas nosotros la discretizamos pero ese es otro tema.

Volviendo a lo anterior, ya tienes la probabilidad en frecuencias. Ahora has de pasar la función densidad pero "en función" de las longitudes de ondas.

Es decir: $\int k d\nu$ haciendo el cambio de variable sabiendo que $\nu \lambda =c$
Halla el diferencial de lambda y cambia los extremos de integración. Verás que la nueva función densidad no es uniforme.

Podría parecer extraño pues existe una equivalencia inequívoca entre $\lambda$ y $\nu$ pero la probabilidad de encontrar un fotón a una frecuencia o longitud de onda dada (en un entorno) es distinta pues los diferenciales son diferentes.

Viendo un ejemplo sencillo, si tienes una función de densidad en [0,1] que vale t, su inversa no puede tomar una función uniforme pues su nuevo rango [1,+inf) no tendría integral igual a 1.

Por tanto, puedes ver que encontrar fotones azules o amarillos con tal probabilidad depende de si lo midas en frecuencias o longitudes de ondas.

Saludos.

[xXminombreXx]

Re: Distribución

Si lo quieres ver intuitivamente, puedes hacer lo siguiente:

Dibuja la gráfica que representa la dependencia de f y lambda. En el eje x la f y en el y la lambda. Es una inversa, tendrá la forma de la inversa de toda la vida.

Ahora en el eje y coge dos longitudes de onda, una alta y otra baja.

Dibuja en torno a cada longitud de onda intervalos iguales (pequeños, que no se crucen), y a partir de la coordenada y de los extremos de los intervalos, traza horizontales hasta que corten a la curva. Ahora baja al eje x esos puntos de corte.

Lo que se ve claramente es que para longitudes grandes y el mismo intervalo coges intervalos menores de frecuencias que para longitudes cortas y el mismo intervalo. Como la función es uniforme para las frecuencias, es más probable encontrar fotones en longitudes cortas, puesto que coges más intervalo de frecuencias.

[Cat_in_a_box]

Re: Distribución

Hola,

Muchas gracias a los dos. Mi error era pensar en que las dos distribuciones eran uniformes, lo cual no tiene sentido por lo que ha expuesto hennin con su gran ejemplo. La verdad es que a primeras no parece del todo intuitivo, pero lo propuesto por xXminombreXx es sencillamente genial. Una cosa:

Ahora has de pasar la función densidad pero "en función" de las longitudes de ondas.Es decir: haciendo el cambio de variable sabiendo que
Halla el diferencial de lambda y cambia los extremos de integración

La $K$ que pones te refieres a la calculada para la densidad de proabilidad de las frecuencias, ¿no? Ésta sería simplemente:

$$K=\dst\frac{1}{\nu_2-\nu_1}$$

Entonces, ¿he de plantear de nuevo la condición de normalización cambiando esas frecuencias por longitudes de onda? Siento ser pesado, pero hemos ido un poco apurados con el temario y esto lo hemos dado bastante rápido...

Bueno, como ya he dicho, muchas gracias a los dos, compañeros

Saludos,

[hennin]

Re: Distribución

Sí esa es la K.

Ahora haces esto: $\int K d\nu$ y sabiendo que $d\nu =-\frac{c}{\lambda^2 }d\lambda \Rightarrow \int K d\nu=\int \frac{Kc}{ \lambda^2 } d\lambda$
(cambiando los extremos de integración que no sé como ponerlos).
Luego el integrando es la nueva función de densidad $f(\lambda )$

[Al2000]

Re: Distribución

...(cambiando los extremos de integración que no sé como ponerlos)...

Subindice (_) el límite inferior, superíndice (^) el límite superior.

Saludos,

Al

[Cat_in_a_box]

Re: Distribución

Muchas gracias a todos una vez más. ¡Madre mía! Achacaré este episodio de ignorancia y lentitud al calor...

Saludos,