Otras carreras Duda con Definición de Conjunto de Borel

[alfred_oh]

[beliytxuri]

Re: Duda con Definición de Conjunto de Borel

La definición de boreliano es constructiva (algo parecido al principio de inducción): partimos de unos elementos de base (punto 1º de la definición) y a partir de ellos, vamos obteniendo otros aplicándoles diversas operaciones permitidas (la complementación (punto 2º) y la unión numerable (punto 3º)).

No es preciso, pues, que los borelianos tengan que cumplir las tres condiciones simultáneamente, sino ajustarse a alguna(s) de las reglas de construcción.
En otras palabras, no hay que "negarlos" sistemáticamente como parece que echas en falta.

Paso ahora a explicarte los ejemplos que planteas:

1) {x} = [x, x] que es un intervalo cerrado y, por tanto, boreliano (aplicando la primera parte de la definición).

2) Cualquier conjunto numerable es la unión numerable de sus elementos individuales. Es boreliano aplicando la tercera parte de la definición.

3) Supongamos que existiera una $\sigma$-álgebra $A'\subset B(\Omega)$ más pequeña que $B(\Omega)$ que contuviera a los subintervalos cerrados. Entonces esta $A'$ verificaría las tres condiciones de la definición (por ser una $\sigma$-álgebra), contradiciendo la definición de que $B(\Omega)$ es el conjunto más pequeño que cumple dichas condiciones.