Otras carreras Contraste de hipotesis

[pilimafiqui]

En un experimento se descubrio que el 25% de una familia sujeta a una dieta de 20% de grasas y sobrealimentada desarrollan tumores. ¿Habria razon para creer que la proporcion de personas que desarrllo tumores al estar sujetas a esa dieta se ha incrementado, si en el momento actual se repitio el experimento y 16 de 48 desarrallaron tumores?

[Marce_]

Re: Contraste de hipotesis

Segura que no falta ningún dato?. Faltaría el nivel de significación, pero podemos utilizar los dos más usados y ver como varían los resultados.


Lo primero que hay que hacer en los test de hipótesis es diferenciar cuál es la hipótesis "conservadora" o también llamada nula ($\dst H_0$) y cual es la alternativa ($\dst H_1$). En este caso tenemos:

p= proporción de familias que -bajo una cierta dieta-, desarrollan tumores. (que lindo tópico)

$$\begin{aligned}<br /> H_0: & p \leq 0.25 \quad , \quad p_0=0.25 \\<br /> H_1: & p > 0.25 <br /> \end{aligned}$$

Dado que trabajamos con parámetros poblacionales, debemos asignar un estimador insesgado. Como el parámetro en cuestión es p, el estimador será $\dst \hat p$, el cuál tendrá distribución conocida y -más aún-, será $\dst \sim N(0,1)$ si $\dst np_0 > 10 \quad \wedge\quad n(1-p_0)>10$:

$$z = \dfrac{\hat {p} - p_{0}}{\sqrt{\frac{p_{0}(1-p_{0})}{n}}} \sim N(0,1)$$

Va a existir un valor crítico de decisión $\dst \hat{p}_c$ a partir del cuál se decidirá desechar (o no) la hipótesis $\dst H_0$. Este valor será el mínimo valor contenido en un conjunto de valores para los cuales $\dst H_0$ será rechazada. Si suponemos que el estimador podrá ser aproximado por la distribución normal, el conjunto de rechazo será para este caso:

$$R=\{\hat{p} / \hat{p}> \hat{p}_c\} = \{z / z > z_c\}$$

El nivel de significación ($\dst \alpha$) es la probabilidad de cometer lo que se llama "error de tipo I", que es "rechazar $\dst H_0$ siendo $\dst H_0$ verdadera". Los valores más utilizados de $\dst \alpha$ son $\dst \alpha=0.05$ y $\dst \alpha=0.01$. Utilicemos el más permisivo primero ($\dst \alpha=0.05$):

$$P\left(\underbrace{\hat{p}>\hat{p}_{c}}_{rechazar H_{0}} / \overbrace{p=p_{0}}^{H_{0} sea verdadera}\right) = P(z>z_c)=\alpha$$

$$P(z>z_{c})= 1- P(z<z_{c})= 1-P\left(z < \dfrac{\hat {p}_{c} - p_{0}}{\sqrt{\frac{p_{0}(1-p_{0})}{n}}}\right) = 1 - \Phi\left(\dfrac{\hat {p}_{c} - p_{0}}{\sqrt{\frac{p_{0}(1-p_{0})}{n}}}\right)= \alpha$$

Para $\dst n=48$ y buscando el fractil $\dst z_{0.95}$ en la tabla correspondiente, tenemos:

$$\hat{p}_{c} = p_{0} + z_{1-\alpha} \sqrt{\frac{p_{0}(1-p_{0})}{n}} \approx \boxed{0.3528}$$

Como $\dst \hat{p}_{\text muestra}= 1/3 < \hat{p}_c \,\,\wedge\,\, \not\in R$ se concluye finalmente que la evidencia muestral no es suficiente para rechazar $\dst H_0$ con un nivel de significación del 5%.


Veamos que pasa si somos más restrictivos. Si $\dst \alpha=0.01$, $\dst \hat{p}_{c} \approx 0.3954$ y seguiríamos sin poder rechazar $\dst H_0$.


Espero que te sirva.


Un abrazo.-

[pilimafiqui]

Re: Contraste de hipotesis

Gracias por tu respuesta. Yo tambien lo hacia asi cogiendo un nivel de significación pero creia que se podria hacer de otra forma