Otras carreras ¿Qué significa la raiz de n en una distribución normal?

[danielandresbru]

Hola, tengo una duda en estadistica respecto a la distribución normal, lo que no entiendo es que a veces la distribución es N(μ,σ), y otras N(μ,σ/√n),
Se que si se conoce la media (μ), la desviación típica (σ), y se sabe que la variable aleatoria sigue una distribución normal, entonces la función de densidad es N(μ,σ). Pero lo que no entiendo es cuando es que se usa esa √n, y de donde es que sale.
Muchas gracias de antemano.

Saludos

[carmelo]

Re: ¿Qué significa la raiz de n en una distribución normal?

Hola.

Puede ser que se esté refiriendo a la varianza de la media. Es decir si tenemos $n$ variables aleatorias en las que se cumple $X_i\sim N(\mu,\sigma^2)$, la media $\bar{X}=\dst\sum_{i=1}^n\dfrac{X_i}{n}$ tendrá distribución $\bar{X}\sim N\left(\mu,\dfrac{\sigma^2}{n}\right)$.

No es muy difícil demostrarlo en caso de que te interese saber de donde surge tal relación.

Saludos
Carmelo

[pilimafiqui]

Re: ¿Qué significa la raiz de n en una distribución normal?

Se parte la desviación típica de la raíz de n cuando nos piden la probabilidad con respecto a la media.
Por ejemplo estamos midiendo la masa corporal de las personas y nos dicen que siguen una normal N(16,4). Se extrae una muestra de 64 personas y nos piden la probabilidad de que la masa corporal media de la muestra este por debajo de 15.
Entonces pasamos a una normal para la media N(16, 4/8)=(16; 0,5) y se trabaja con este nuevo dato.

[danielandresbru]

Re: ¿Qué significa la raiz de n en una distribución normal?

Hola Carmelo, sabes donde esta esa demostración?

[carmelo]

Re: ¿Qué significa la raiz de n en una distribución normal?

Hola.

Sean $X_i$ , $i=1,2,\ldots n$ variables aleatorias independientes con media $\mu$ y varianza $\sigma^2$.

Por lo tanto se sabe que:
$E[X_i]=\mu$

$E[(X_i-\mu)^2]=\sigma^2$


Además se tiene que $\bar{X}=\dst\sum_{i = 1}^n \dfrac{X_i}{n}$

$E[\bar{X}]=E\left[\dst\sum_{i = 1}^n \dfrac{X_i}{n}\right]=\dst\sum_{i = 1}^n \dfrac{E[X_i]}{n}=\dfrac{\mu}{n}n=\mu$

$E[(\bar{X}-\mu)^2]=E\left[\dst\sum_{i = 1}^n \dfrac{X_i}{n}-\mu\right]^2\right]=\dfrac 1 {n^2}E\left[\left[\dst\sum_{i = 1}^n (X_i-\mu)\right]^2\right]=$ $\dfrac 1 {n^2}E\left[ \dst\sum_{i = 1}^n (X_i-\mu) \dst\sum_{j= 1}^n (X_j-\mu) \right]=$

$=\dfrac 1{n^2}E\left[\dst\sum_{i=1}^n\dst\sum_{j=1}^n\left[(X_i-\mu)(X_j-\mu)\right]\right]=\dfrac 1{n^2}E\left[<br /> \dst\sum_{i=1}^n\dst\sum_{j=1}^n\left[X_iX_j-\mu(X_i+X_j)-\mu^2\right]\right]=$ $\dfrac 1{n^2}\dst\sum_{i=1}^n\dst\sum_{j=1}^n\left[E[X_iX_j]-\mu(E[X_i]+E[X_j])-\mu^2\right]=$

$=\dfrac 1{n^2}\dst\sum_{i=1}^n\dst\sum_{j=1}^n\left(E[X_iX_j]-\mu^2\right)$

Dado que son independientes se tiene para $i\neq j\Rightarrow E[X_iX_j]=E[X_i][X_j]=\mu^2$ y la contribución a la sumatoria de estos términos es nula. Por lo tanto sólo contribuiran a la sumatoria los términos con $i=j$, y por lo tanto se tiene:

$E[(\bar{X}-\mu)^2]=\dfrac 1{n^2}\dst\sum_{i=1}^n\left(E[X_i^2]-\mu^2\right)=\dfrac{n\sigma^2}{n^2}=\dfrac{\sigma^2}{n}$

Saludos
Carmelo

PD. Nota que no se supuso en ningún momento que la distribución fuera normal.

[danielandresbru]

Re: ¿Qué significa la raiz de n en una distribución normal?

Hola Carmelo, una última duda. Cual sería la interpretación de esto?.
Porque la lo de la E[X] yo lo interpreto comolo que se esperaque valga una media muestral, pero el de E[(X-μ)²], yo lo interpreto comoloqe se espera que valga la X(media muestral) menos la μ(media), pero es qe si fuera así, como yo espero que la X valga μ, entoces E[(X-μ)²] tendria que ser cero, entonces en realidad no se a que se refiere E[(X-μ)²].

Salidos

[carmelo]

Re: ¿Qué significa la raiz de n en una distribución normal?

Es la definicion de varianza y da la dispersion en torno a la media. No es cero, porque esta elevado al cuadrado. En una distribución normal seria que tan ancha o angosta es la campana.

Saludos.
Carmelo