1r ciclo Ejercicio modelo binomial

[HanT]

Buenas tengo este ejercicio que no sé muy bien cómo plantearlo. Sé que corresponde a un modelo de variable binomial.

Se sabe que un 5% de las partículas lanzadas atraviesan una zona del campo magnético, ¿cuántas partículas debemos lanzar para que la probabilidad de que al menos queden 30 atrapadas sea al menos del 95%?

Tengo un planteamiento pero se me queda a despejar el número de repeticiones dentro de un factorial, y no sé muy bien cómo hacerlo.

Un saludo!

[Richard R Richard]

Re: Ejercicio modelo binomial

No creo que se trate de sacarlo de dentro de una formula sino, de recrear una probabilidad acumulada

arrancas con $P=\left (\begin{aligned} n\\k\end {aligned}\right)p^{k}(1-p)^{n-k}$

si la probalibildad de atravesar es el 5% la de ser atrapado es el 95% si solo se lanzan 30 particula la probabilididad de que las 30 queden atrepadas

$P_{(30)}=\left (\begin{aligned} 30\\30\end {aligned}\right)0.95^{30}(1-0.95)^{30-30}$

luego con 31 partículas la probablididad de que al menos 30 queden atrapadas será

$P_{(31)}=\left (\begin{aligned} 31\\30\end {aligned}\right)0.95^{30}(1-0.95)^{31-30} +$$\left (\begin{aligned} 31\\31\end {aligned}\right)0.95^{30}(1-0.95)^{31-31}$

con 32

$P_{(32)}=\left (\begin{aligned} 32\\30\end {aligned}\right)0.95^{30}(1-0.95)^{32-30}+$$\left (\begin{aligned} 32\\31\end {aligned}\right)0.95^{30}(1-0.95)^{32-31}+$$\left (\begin{aligned} 32\\32\end {aligned}\right)0.95^{30}(1-0.95)^{32-32}$

en cada paso debes ver si esta probabilidad es mayor que 95%,

cuando lo sea el valor del subíndice será el número de partículas lanzadas.

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] $\forall x\geqslant 30$

- - - Actualizado - - -

Otra forma es recurrir a tablas de probabilidad binomial acumulada, lo que te estan pidiendo es 30 o mas exitos en x lanzamientos de probabilidad 0,95 [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y como

$1=F_{29,x}+G_{30,x}$

como las tablas representan a los valores de F debes buscar que x satisface que su probabilidad para $k=29$ sea inferior al 5% cuando P=95%

otra es ir por la probabilidad de falla del experimento es decir encontrar en tabla $F_{(x-30,x)}$ cuando P=0,05 y que este valor sea mayor al 95%

por lo que para mi x=34

[HanT]

Re: Ejercicio modelo binomial

Claro, yo lo había pensado así igualando a 0,95 e intentando despejar n. Tampoco tengo buen manejo en los números combinatorios así que pensé que quizá había forma de resolver la ecuación pero desde luego lo tuyo es lo más sencillo. Gracias.