Otras carreras Probabilidad de distribución continua

[danielandresbru]

Hola, tengo una duda con respecto a la funcion de probabilidad de una variable aeatoria que sigue una distribución continua, y es que quisiera saber si estoy en lo correcto la probabilidad de un suceso a putual que sigue dicha distribucion es P(x=a)=f(a)dx, es decir la probabilidad de un suceso es el valor de la función de densidad por un diferencial, y entonces si quiero calcular la probalidad de que la varible x toma un valor en un determinado rango (a,b), lo que hagoes sumar cada una de las probabilidades que hay desde "a" hasta "b", pero como cada elementoes nfinitamente pequeño esa suma a denoto como una integral entre "a" y "b". Sólo quisiera si estoy en lo cierto. Gracias

[Richard R Richard]

Re: Probabilidad de distribución continua



Si la densidad de probabilidad es $f(x)$

la probabilidad de que la variable tome los valores dentro del rango es

$P[a,b]=\dst \int_a^b f(x) \dd x$

[danielandresbru]

Re: Probabilidad de distribución continua

Hola Richard, entonces la probabilidad de x valga un valor concreto cual sería? No tendría que ser f(a)*dx?

[arivasm]

Re: Probabilidad de distribución continua

Para una distribución continua la probabilidad de que la variable tome un valor concreto (absolutamente *exacto*) es 0. La densidad de probabilidad expresa el cociente entre la probabilidad dP correspondiente a un intervalo de tamaño dx y este último.

En realidad no es muy diferente de lo que sucede con cualquier densidad, por ejemplo la de materia (la de toda la vida, masa / volumen). ¿Cuál es la masa contenida en un punto? (dV=0), evidentemente 0. ¿Qué expresa la densidad? NO es la masa de un punto, sino el cociente entre la masa infinitesimal dm contenida en un volumen infinitesimal dV y el valor de éste.

[Richard R Richard]

Re: Probabilidad de distribución continua

Si. Pero cuando hablas de un valor concreto quieres decir cuanto vale la probabilidad en un solo punto, y como es una variable continua la probabilidad tiende a 0 , pues dx tiende a 0

Cuando mas te aproximes a un punto dx se hace cada vez mas pequeño y no importa que valor tome f(x) pues es un valor finito, que al multiplicarlo por dx que es muy pequeño la probabilidad sera pequeña, al punto de hacerce nula en el punto.

Por eso siempre se usa un rango de valores y se estima la probabilidad de que la variable x tome cualquiera de los valores dentro del rango, así valor de la probabilidad es un valor finito, y no nulo.
$<br /> P[a,a+h]=\dst\int^{a+h}_a f(x)\dd x$

cuando quieres evaluar la probabilidad en un punto sucedería lo siguiente , ( ojo no es una demostración matemática rigurosa)

$Lim_{h\to 0} P[a,a+h]=Lim_{h\to 0}\dst\int^{a+h}_a f(x)\dd x\cong Lim_{h\to 0} f(a).h=0$

Es decir cada pequeño intervalo aporta una pequeña probabilidad, no cada punto. $\dd P(a)=f(a)\dd x$ es decir el diferencial de probabilidad es igual da la densidad de probabilidad en el punto por el diferencial de intervalo.

Edito: Veo que arivasm también te señala lo mismo

[danielandresbru]

Re: Probabilidad de distribución continua

Avisram, hay algo que todavía no entiendo tomando e cuenta elejemplo tuyo de la densidad (ρ=dm(v)/dv), si se quisieracalcularla densidad en un punto la densidad sería ρ=dm(v)/0 que evidente no existiría, y por tanto la densidad en un punto no se podría definir, entonces la densidad en un punto en concreo no sería 0. No se si esté en lo correcto.
Y Disculpadme si este comentario no entra en este foro, es que todavia no entiendo hasta que limite se puede usar contenido de una temática en un foro correspondiente al suyo, pero la verdad me parece que guarda relación respecto a mi pregunta, ya que sería un análogo de f=dp(x)/dx.
Muchas gracias

- -

- - - Actualizado - - -

Muchas gracias, Richard

[arivasm]

Re: Probabilidad de distribución continua

Avisram, hay algo que todavía no entiendo tomando e cuenta elejemplo tuyo de la densidad (ρ=dm(v)/dv), si se quisieracalcularla densidad en un punto la densidad sería ρ=dm(v)/0 que evidente no existiría, y por tanto la densidad en un punto no se podría definir, entonces la densidad en un punto en concreo no sería 0.

La densidad en un punto por supuesto no es cero. Tu confusión procede del propio concepto de derivada: se trata del cociente entre dos infinitésimos. Dicho de una manera un tanto informal, es el límite de un cociente de la forma 0/0. Si tomas un elemento de volumen de valor exactamente 0 la masa que contiene es también exactamente 0. Eso no significa que dm/dV sea cero.

Piensa, como he dicho, en el concepto de derivada, para el que me permitirás que lo escriba de esta manera $\dst f'=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f}{\Delta x}$.

Tomemos otro ejemplo: en un movimiento unidimensional la velocidad es también un cociente de la forma $\dst v=\frac{\dd x}{\dd t}$, es decir, $\dst v=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}$. ¿Cuál es el desplazamiento que corresponde a un intervalo de tiempo *exactamente* 0? Por supuesto es $\Delta x=0$. ¿Significa eso que no podemos definir la velocidad? Por supuesto que no!

[danielandresbru]

Re: Probabilidad de distribución continua

Muchas gracias arivasm me has aclarado gran parte de mi duda, pero lo que yo digo es que no se podría definir la velo[FONT=arial] [/FONT]en un momento exacto, ya que por definición v(media)=[FONT=arial] Δx/[/FONT][FONT=arial] Δt,[/FONT] pero como va a haber un velocidad sino hay variación de x ni de t, entiendo que si se hace el limite cuando [FONT=arial]Δt [/FONT]tiende a 0 se podría hallar la velocidad en un entorno muy proximo al tiempo determinado (aún habría una variación), peroyo me refiero que esa variacón no exista, es decir [FONT=arial]Δt=0 [/FONT]en vez de tender a 0.

[Richard R Richard]

Re: Probabilidad de distribución continua

Repito con otras palabras lo que arivasm ya te aclaró
La velocidad instantánea es $v=\dfrac{\dd x}{\dd t}$ y si se puede saber en un instante determinado y puede o no coincidir con la velocidad media de un determinado intervalo $\Delta t$

Preguntate cuanto es el tiempo necesario para recorrer un distancia nula es decir de ir desde el punto x hasta el punto x, el resultado es tiempo nulo a cualquier velocidad que viajes. tienes una indeterminación 0/0, pero eso no implica que la velocidad no pueda calcularse en el entorno.

[arivasm]

Re: Probabilidad de distribución continua

no se podría definir la veloen un momento exacto, ya que por definición v(media)=[FONT=arial] Δx/[/FONT][FONT=arial] Δt[/FONT]

Antes de nada: la velocidad instantánea es el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero.

pero como va a haber un velocidad sino hay variación de x ni de t,

Por supuesto que hay velocidad. ¡No caigas en la paradoja de Zenón de la dicotomía! Claro que x varía a medida que t varía!

entiendo que si se hace el limite cuando [FONT=arial]Δt [/FONT]tiende a 0 se podría hallar la velocidad en un entorno muy proximo al tiempo determinado (aún habría una variación), peroyo me refiero que esa variacón no exista, es decir [FONT=arial]Δt=0 [/FONT]en vez de tender a 0.

¿Te crece el pelo ahora mismo? Por supuesto. Es más, lo estará haciendo a un ritmo de no sé cuántos mm / día!

De todos modos, repito: debes reflexionar acerca de qué significa una derivada. La velocidad es uno de los mejores ejemplos que tienes para pensar sobre ello.