2o ciclo Duda con la definición de procesos estocásticos

[Erebus]

Estoy aprendiendo sobre procesos estocásticos y me he encontrado con algunas dudas, así que agradecería cualquier ayuda.

En una primera referencia he hallado la siguiente definición: Un proceso estocástico se define como una familia de variables aleatorias $\{X_t,t\in T\}$ con espacio parametral $T$ y espacio de estados $Z$ (*este último es el conjunto de valores que pueden tomar las variables aleatorias).

Suponiendo que el espacio parametral es algún intervalo de tiempo, yo me he formado la siguiente interpretación (todos los párrafos que inician con un asterisco describen mi interpretación):

*Se tiene una cantidad que evoluciona de manera aleatoria con el tiempo, digamos $x$. Si se observa el comportamiento de $x$ a lo largo de todo el intervalo $T$, se obtendrá una curva $x(t)$. Si fuera posible volver a observar dicho comportamiento bajo el mismo conjunto de condiciones (incluso si fuera posible regresar el tiempo y volver a correr el mismo intervalo en el que se realizó la primera observación) es muy probable que se obtendría una curva $x(t)$ diferente (debido a la influencia de fenómenos aleatorios no identificados y por la misma naturaleza aleatoria de la cantidad $x$). A cada curva $x(t)$ se le conoce como realización o función muestral. El conjunto de todas las realizaciones es el ensamble del proceso estocástico.

*A mí me parece que en cada instante de tiempo $t$ del intervalo $T$ es posible considerar que existe una variable aleatoria $X_t$, puesto que puede tener un resultado diferente en cada realización. Sin embargo, el conjunto de valores que cada $X_t$ puede tomar (espacio de estados de $X_t$) debe ser el mismo, puesto que todas las variables aleatorias $X_t$ describen la misma cantidad.
Por ejemplo, si $s,t\in T$ pero $s\neq t$ entonces, $X(s)$ y $X(t)$ serán dos variables aleatorias diferentes con el mismo espacio de estados. Sin embargo, como las condiciones de la cantidad $x$ también pueden estar cambiando con el tiempo, es posible que $X(s)$ y $X(t)$ tengan distribuciones de probabilidad distintas.

En una segunda referencia hallé otra definición: Sea $U$ el conjunto de eventos elementales y $t$ un parámetro continuo. Un proceso estocástico se define como la función de dos argumentos $\xi(t)=\phi(e,t) \quad (e\in U)$.
Explícitamente menciona que $\forall t$, $\phi(e,t)$ es una función de $e$ solamente y, por lo tanto, una variable aleatoria, lo cual coincide con mi interpretación anterior.

Por otro lado, para cada valor fijo de $e$ (i.e., para cada evento elemental) $\phi(e,t)$ depende sólo de $t$, la cual es una realización del proceso.
*Esto último ya no coincide con mi interpretación puesto que en ella la curva $x(t)$ puede tomar un valor diferente de $X$ para cada $t$ y si $X(s)\neq X(t)$ yo pensaría que $X(s)$ y $X(t)$ corresponden a eventos elementales diferentes. Ésta es mi duda principal.

Si mis interpretaciones son erróneas por favor háganmelo saber.

De antemano mil gracias.

[Dj_jara]

Por otro lado, para cada valor fijo de (i.e., para cada evento elemental) depende sólo de , la cual es una realización del proceso.

Pero el valor de e no está fijo. Es simplemente otra forma de representar que phi en este caso para cada t es una variable aleatoria. Luego está el tema que el uso de procesos estocásticos (o más bien dicho su integración) depende de un área (electrónica, física, finanzas, etc.) a otra, con lo que hay de forma práctica dos formas distintas (con distintas consecuencias matemáticas), la de Itô y la de Stratanovich. No se que referencia estás usando para aprender, pero la típica de referencia es la de Øksendal "Stochastic Differential Equations: An introduction with Applications".

[Erebus]

En general, t y e no son fijos, pero luego el texto analiza los casos en que t se fija y e no, y viceversa. La parte que no logro entender es cuando se fija e.
Muchas gracias por la bibliografía que sugieres; para escribir esta entrada usé estas dos:
-[Applied probability and stochastic processes, Frank Beichelt]
-[The theory of probability, Boris V. Gnedenko]

[Dj_jara]

sí, pero desde la perspectiva de xi: xi es algo que depende de t, pero no de e, e es un parámetro que se queda volando por ahí. Es simplemente una notación diferente para marcar que es una variable aleatoria, igual una notación más laxa o informal, pero los físicos no suelen ser matemáticos y a veces se hacen esas cosas. Por supuesto si fijas e, es decir si la ambigüedad que introduce la probabilidad se resuelve para un caso concreto, entonces tendrás un camino (path), de la misma forma que cuando para X(t) se escoge un valor numérico para cada t (el cual provendrá de la distribución de probabilidad), pero para "reconstruir" el proceso estocástico, necesitarás "muchos" caminos para saber cual es la distribución de probabilidad para cada t (eso es lo que se hace con las simulaciones de Monte Carlo)

[Richard R Richard]

Por favor usar el botón "responder" para darle continuidad al tema principal del hilo y el de comentario para pequeñas aclaraciones periféricas como esta por ejemplo. Gracias.

[Erebus]

Estoy pensando (aún no lo encuentro de forma explícita en algún texto) que es necesario distinguir entre realización de una variable aleatoria y realización de un proceso estocástico. Una realización de una variable aleatoria $X$ es un valor que ésta puede tomar, outcome; el conjunto de todas las outcomes posibles de $X$ es el espacio de estados. Por su parte, una realización (o path) de un proceso estocástico es una posible evolución del proceso, esto es, una cantidad que depende del tiempo.

Por lo que dices y por lo que encontré en otro texto*, creo que es posible considerar a un proceso aleatorio como una variable aleatoria cuyo espacio de estados es un conjunto de funciones de $t$. Así, cada función de $t$ sería un resultado (outcome) de dicha variable aleatoria, aunque en este caso se le llame path. Así el conjunto de todos los path (ensamble) de un proceso aleatorio sería análogo al espacio de estados que se define para una variable aleatoria.

Si lo anterior es cierto, mi duda estaría resuelta pues al fijar a $e$ se estaría seleccionando un solo resultado (outcome) del proceso aleatorio visto como variable aleatoria y dicho resultado es una función del tiempo. ¿O es esto incorrecto?

Dj_jara, mencionas que para cada $X(t)$ hay una distribución de probabilidad, con lo cual estoy de acuerdo. Esto me lleva a hacerme otra pregunta: viendo a un proceso estocástico como una variable aleatoria, ¿podemos hablar de una distribución para ésta? Así, con dicha distribución de probabilidad podríamos calcular la probabilidad de obtener un path específico.

*El texto que menciono es
[Stochastic processes A survey of the mathematical theory, John Lamperti].

[Dj_jara]

Por lo que dices y por lo que encontré en otro texto*, creo que es posible considerar a un proceso aleatorio como una variable aleatoria cuyo espacio de estados es un conjunto de funciones de$t$.

Realmente colección de variables aleatorias, para cada $t$ tienes una variable aleatoria diferente. El conjunto al que puede pertenecer $t \in T$ puede discreto o continuo. Por ejemplo, supón que $t \in \{0,1\}$, es un conjunto discreto y un proceso estocástico ahí podría ser $\{X_0 \sim B(100,0.5), X_1 \sim N(0,1)\}$, es decir para t=0 sigue una distribución binomial y para t=1 una distribución normal. Este es un caso extraño donde la distribución en la que se basa la variable aleatoria cambia mucho entre un tiempo (por llamar de alguna forma al parámetro t) y otro, pero es así como ocurre. El proceso más familiar cuando mires cosas de integración es el de Wiener (y generalizaciones) donde el proceso es continuo, pero la distribución aunque es una normal, la dispersión aumenta con el tiempo $N(0, \sigma t)$

Así el conjunto de todos los path (ensamble) de un proceso aleatorio sería análogo al espacio de estados que se define para una variable aleatoria.

Si lo anterior es cierto, mi duda estaría resuelta pues al fijar a se estaría seleccionando un solo resultado (outcome) del proceso aleatorio visto como variable aleatoria y dicho resultado es una función del tiempo. ¿O es esto incorrecto?

Sí, pero ya te puedes imaginar la complicación que puede haber de ir de una distribución en un tiempo fijo como $N(0, \sigma )$ o a una que se compone de muchas (infinitas en el caso continuo).

¿podemos hablar de una distribución para ésta? Así, con dicha distribución de probabilidad podríamos calcular la probabilidad de obtener un path específico.

Sí, puede calcular probabilidades entorno a caminos (o más bien conjuntos de caminos) y más bien propiedades concretas como media, dispersión, etc. Es lo típico para lo que haces una simulación de Monte Carlo*. Igual te interesa saber el valor final (distribución) al final (digamos $t=1$) o igual te interesa saber como la distribución varia durante todo el intervalo.

Un ejemplo donde sólo te interesa el valor final, es cuando en finanzas estudias opciones financieras europeas (sólo se ejercen al final del periodo). Pero al mirar opciones americanas o aún mejor asiáticas (los nombres no tienen ninguna relación geográfica, es sólo la forma en que se llaman), tienes que mirar como el proceso estocástico (que representa la acción o cualquier otro activo financiero) varia durante todo el intervalo ya que el valor de la opción depende de todo el intervalo.

*Realmente al hacer la simulación de Monte Carlo, sueles mirar para cosas más concretas, no la distribución per se. Más bien miras cosas como la media, varianza, cuartiles, etc... o cualquier otra medida de la distribución que sea interesante para el problema.

[Erebus]

Realmente colección de variables aleatorias, para cada $t$ tienes una variable aleatoria diferente.

Estoy de acuerdo con esto y entiendo el ejemplo. Pero me parece que los dos enfoques se usan en la literatura. La siguiente es una cita (que acabo de encontrar) de la referencia anterior* que apoya ambos enfoques:

In describing a stochastic process ... there is a certain psychological bias: one tends to regard the process primarily as a function on $T$ whose values for each $t\in T$ are random variables.
.... It is also legitimate, and sometimes most appropriate, to think of the process $X$ as a single random variable whose range is a space of functions on $T$...

Sí, pero ya te puedes imaginar la complicación que puede haber de ir de una distribución en un tiempo fijo como $N(0,\sigma)$ o a una que se compone de muchas (infinitas en el caso continuo).

Según yo, al ver a un proceso estocástico como una colección de variables aleatorias $X(t)$, se tendrá una distribución para cada una y, si el intervalo de tiempo $T$ es infinito, entonces habrá infinitas distribuciones. Por otro lado, al verlo como una variable aleatoria donde sus outcomes son paths, entonces podría pensarse en tener una sola distribución. Sin embargo, me parece que encontrar tal distribución representaría una tarea muy difícil, puesto que no sólo hay infinitos paths sino que algunos pueden ser muy caprichosos en su evolución y no guardar mucha relación con los demás.

No había pensado en Monte Carlo, así que gracias por esto.

*[Stochastic processes A survey of the mathematical theory, John Lamperti]