Prueba de la varianza de la distribución binomial negativa

[erick_holgado]

Estoy probando la varianza de la distribución Binomial Negativa pero me quede estancado en la derivada:

$V(x) = E(x(x-1))+E(x)-E(x)^{2}$
$E(x(x-1)) = \displaystyle\sum^{\infty}_{\substack{x=0}} x (x-1) \; P(X=x)$

$E(x(x-1)) = \displaystyle\sum^{\infty}_{\substack{x=0}} x (x-1) \displaystyle\binom{x-1}{r-1} \; p^{r} \; (1-p)^{x-r}$
$E(x(x-1)) = \displaystyle\sum^{\infty}_{\substack{x=0}} x (x-1) \dfrac{(x-1)!}{(x-r)!\;(r-1)!} \; p^{r} \; (1-p)^{x-r}$
$E(x(x-1)) = \displaystyle\sum^{\infty}_{\substack{x=0}} (x-1)r \dfrac{x!}{(x-r)!\;(r)!} \; p^{r} \; (1-p)^{x-r}$
$E(x(x-1)) = r\;(\dfrac{p}{1-p})^{r} \displaystyle\sum^{\infty}_{\substack{x=0}} \displaystyle\binom{x}{r} \; (x-1) (1-p)^{x}$
$E(x(x-1)) = r\left(\frac{p}{1-p}\right)^r\left[\sum^{\infty}_{x=r} \binom{x}{r} (x-1)y^{x}\right]_{y=1-p}$
$E(x(x-1)) = r\left(\frac{p}{1-p}\right)^r\left[\sum^{\infty}_{x=r} \binom{x}{r} (xy^x-y^x)\right]_{y=1-p}$
$E(x(x-1)) = r\left(\frac{p}{1-p}\right)^r\left[\sum^{\infty}_{x=r}\binom{x}{r}xy^x-\sum_{x=r}^{\infty }\binom{x}{r}y^x\right]_{y=1-p}$
$E(x(x-1)) =r\left(\frac{p}{1-p}\right)^r\left[y\frac{d}{dy}\sum^{\infty}_{x=r}\binom{x}{r} y^x-\sum_{x=r}^{\infty }\binom{x}{r}y^x\right]_{y=1*-p}$

No puedo resolver la derivada de la parte izquierda de la ecuación, tengo entendido que es una serie $\sum_{x=r}\binom{x}{r}y^{x+1}=\left(\frac{y}{1-y}\right)^{r+1}$. Ayuda, por favor.