Incertidumbre de mediciones repetidas

[Berna]

Hola de nuevo.

Ahora tengo duda respecto a esta formula.

$\sigma_{\bar{X}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

Hasta donde sé, esta formula sale de la medición de la media y varianza de una media muestral; y la suposición de que cada variable/medición es independiente. Tal que queda así resumido.

$\bar{X}=\frac{1}{n}X_1+...+\frac{1}{n}X_n$
$\mu_{\bar{X}}=\frac{1}{n}\mu_{X_1}+...+\frac{1}{n}\mu_{X_n}$
$\mu_{\bar{X}}=\frac{1}{n}\mu+...+\frac{1}{n}\mu=\mu$

Y para la varianza.

$\sigma^2_{\bar{X}}=\frac{1}{n^2}\sigma^2_{X_1}+...+\frac{1}{n^2}\sigma^2_{X_n}$
$\sigma^2_{\bar{X}}=\frac{1}{n^2}\sigma^2_{X}+...+\frac{1}{n^2}\sigma^2_{X}=\frac{\sigma^2}{n}$

No me hace mucho sentido el concepto de varianza de media muestral, por qué es diferente a la varianza muestral?

Por ejemplo, encontré este ejercicio en un libro:

"La masa de una roca se midió cinco veces en una balanza cuya incertidumbre no se conoce. Las cinco mediciones (en gramos) son 21.10, 21.05, 20.98, 21.12 y 21.05. Estime la masa de la roca y determine la incertidumbre en la estimación.

Solución

Sea $\bar{X}$ el promedio de las cinco mediciones y sea s la desviación estándar muestral. Calculamos $\bar{X}$ = 21.06 g y s = 0.0543 g. A partir de la ecuación (3.6) estimaríamos que la longitud del componente es de $\bar{X}=\sigma/\sqrt{5}$. No conocemos σ, que es la incertidumbre, ni la desviación estándar del proceso de medición. Sin embargo, podemos aproximar σ con s, la desviación estándar muestral de las cinco mediciones. Por lo tanto, estimamos que la masa de la roca es de $21.06 \pm 0.0543/\sqrt{5}$ o 21.06 ± 0.02 g."

No entiendo porque hay que calcular la "varianza" dos veces. No me hace sentido calcular primero la varianza muestral.

$\sigma^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=0}^{n}(x_i-\mu)^2$

Y luego esto.

$\sigma_{\bar{X}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

Que alguien me explique, ahhhhh!!!!

Gracias por su atención.