Máximo número de partidas de poker...

[carroza]

Re: Máximo número de partidas de poker...

Hola de nuevo.

Creo que tendo una solución general, para el caso en el que tengamos un numero de jugadores $m^2$, que juegan de tal forma que hay m en cada mesa.

Primeramente, voy a probar que el número máximo de mesas posibles M, que cumplen que no hay dos mesas en las que se repitan dos jugadores es $M=m(m+1)$

Solución: 

El numero de pares de jugadores posibles, partiendo de m^2 jugadores totales, es
$J=m^2 (m^2 -1)/2 = m^2(m-1)m(+1)/2$
El numero de pares de jugadores que hay en cada mesa, considerando los m jugadores, es
$j=m (m -1)/2$

Por tanto, el número máximo de mesas, supuesto que encontremos una estrategia de reparto en el que ninguna mesa tenga el mismo par de jugadores, es
$M = J/j = m(m+1)$

Ahora vamos a buscar una estrategia de reparto de los jugadores por las mesas, de forma que no haya la misma pareja de jugadores en dos mesas.

Me resulta util etiquetar los $m^2$ jugadores mediante un par de números (i,j), de forma que $i,j = 0, \dots m-1$. Cada jugador genérico (i,j) debe estar en (m+1) mesas, tales que los otros jugadores distintos de (i,j) no se repitan el las mesas. Si esto se cumple, tendremos (m+1) mesas en las que participa cada jugador, multiplicados por $m^2$ jugadores totales, divididos por m jugadores en cada mesa, igual a el máximo $M=m(m+1)$ .

La estrategia es la siguiente

Solución: 

Primero, hacemos mesas para todos los jugadores de una fila dada (m mesas), y para todos los jugadores que están en una columna dada (otras m mesas)

El jugador (i,j) estará en la mesa de los jugadores de su fila, determinados por $(i,k), k=0 \dots m-1$, y en la mesa de los jugadores de su columna, determinados por $(k,j), k=0 \dots m-1$. Esto hacen dos mesas. Nos hace falta definir (m-1) mesas más, compuestas por jugadores que no están ni en la misma fila ni en la misma columna de (i,j).

Para ello, muy a recordar la suma modular: $(i+k)_m$, que se lee (i+k), modulo m, es el resto de dividir (i+k) por m. Por tanto, $(i+k)_m$ está siempre entre 0 y m-1.

Definimos ahora una mesa con los jugadores de la "diagonal" de (i,j). Esta mesa está formada por el jugador (i,j) y los jugadores $((i+k)_m,(j+k)_m), k=1 \dots m-1$. Fijadse que, en función de los valores (i,j), esta "diagonal" puede tener dos trozos.

Ahora, la mesa con los jugadores de la diagonal de (i,j), desplazada 1 unidad. Esta está formada por (i,j), y los jugadores $((i+k_{m-1}+1)_m,(j+k)_m), k=1 \dots m-1$.

Para clarificar,$k_{m-1}$, leido (k modulo (m-1)) es un numero entre 0 y m-2. Para k=6, y m=7, $k_{m-1}=0$.

La mesa de la diagonal de (i,j) desplazada 2 unidades esta formada por (i,j), y los jugadores $((i+(k+1)_{m-1} +1)_m ,(j+k)_m), k=1 \dots m-1$.

La mesa de la diagonal de (i,j) desplazada 3 unidades esta formada por (i,j), y los jugadores $((i+(k+2)_{m-1} +1)_m ,(j+k)_m), k=1 \dots m-1$.

De esta forma, podemos desplazar hasta m-2 unidades, obteniendo m-1 grupos diferentes, para el elemento (i,j), con diagonales desplazadas.

A ver que os parece. Agradeceria que probarais el procedimiento, para ver si se me ha colado algun gazapo.

Un saludo

Saludos

[skan]

Re: Máximo número de partidas de poker...

Hola de nuevo.

Creo que tendo una solución general, para el caso en el que tengamos un numero de jugadores $m^2$, que juegan de tal forma que hay m en cada mesa.

Primeramente, voy a probar que el número máximo de mesas posibles M, que cumplen que no hay dos mesas en las que se repitan dos jugadores es $M=m(m+1)$

Solución: 

El numero de pares de jugadores posibles, partiendo de m^2 jugadores totales, es
$J=m^2 (m^2 -1)/2 = m^2(m-1)m(+1)/2$
El numero de pares de jugadores que hay en cada mesa, considerando los m jugadores, es
$j=m (m -1)/2$

Por tanto, el número máximo de mesas, supuesto que encontremos una estrategia de reparto en el que ninguna mesa tenga el mismo par de jugadores, es
$M = J/j = m(m+1)$

Ahora vamos a buscar una estrategia de reparto de los jugadores por las mesas, de forma que no haya la misma pareja de jugadores en dos mesas.

Me resulta util etiquetar los $m^2$ jugadores mediante un par de números (i,j), de forma que $i,j = 0, \dots m-1$. Cada jugador genérico (i,j) debe estar en (m+1) mesas, tales que los otros jugadores distintos de (i,j) no se repitan el las mesas. Si esto se cumple, tendremos (m+1) mesas en las que participa cada jugador, multiplicados por $m^2$ jugadores totales, divididos por m jugadores en cada mesa, igual a el máximo $M=m(m+1)$ .

La estrategia es la siguiente

Solución: 

Primero, hacemos mesas para todos los jugadores de una fila dada (m mesas), y para todos los jugadores que están en una columna dada (otras m mesas)

El jugador (i,j) estará en la mesa de los jugadores de su fila, determinados por $(i,k), k=0 \dots m-1$, y en la mesa de los jugadores de su columna, determinados por $(k,j), k=0 \dots m-1$. Esto hacen dos mesas. Nos hace falta definir (m-1) mesas más, compuestas por jugadores que no están ni en la misma fila ni en la misma columna de (i,j).

Para ello, muy a recordar la suma modular: $(i+k)_m$, que se lee (i+k), modulo m, es el resto de dividir (i+k) por m. Por tanto, $(i+k)_m$ está siempre entre 0 y m-1.

Definimos ahora una mesa con los jugadores de la "diagonal" de (i,j). Esta mesa está formada por el jugador (i,j) y los jugadores $((i+k)_m,(j+k)_m), k=1 \dots m-1$. Fijadse que, en función de los valores (i,j), esta "diagonal" puede tener dos trozos.

Ahora, la mesa con los jugadores de la diagonal de (i,j), desplazada 1 unidad. Esta está formada por (i,j), y los jugadores $((i+k_{m-1}+1)_m,(j+k)_m), k=1 \dots m-1$.

Para clarificar,$k_{m-1}$, leido (k modulo (m-1)) es un numero entre 0 y m-2. Para k=6, y m=7, $k_{m-1}=0$.

La mesa de la diagonal de (i,j) desplazada 2 unidades esta formada por (i,j), y los jugadores $((i+(k+1)_{m-1} +1)_m ,(j+k)_m), k=1 \dots m-1$.

La mesa de la diagonal de (i,j) desplazada 3 unidades esta formada por (i,j), y los jugadores $((i+(k+2)_{m-1} +1)_m ,(j+k)_m), k=1 \dots m-1$.

De esta forma, podemos desplazar hasta m-2 unidades, obteniendo m-1 grupos diferentes, para el elemento (i,j), con diagonales desplazadas.

A ver que os parece. Agradeceria que probarais el procedimiento, para ver si se me ha colado algun gazapo.

Un saludo

Saludos

Como te lo curras.
Lo miraré a ver.

Por si te interesa también lo pregunté en un foro de mates y esto me dijeron, quedó un poco a medias.

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=94357.msg380669#msg380669

Y la solución general está aquí:
https://www.sciencedirect.com/scienc...12365X9190146S
y algún comentario aquí:

https://cs.stackexchange.com/questions/67832/game-tournament-program-np-complete/67855

La cosa es que no tengo interés personal en el problema pero me gusta ir aprendiendo y pensé que debía haber algún método más fácil de hacerlo.

[skan]

Re: Máximo número de partidas de poker...

¿Entonces cuántas rondas te salen cómo máximo para 64 jugadores en mesas de 8?

La solución para un caso más simple 16 jugadores en mesas de 4 es de 5 rondas:



a1 a2 a3 a4 - b1 b2 b3 b4 - c1 c2 c3 c4 - d1 d2 d3 d4
a1 b1 c1 d1 - a2 b2 c2 d2 - a3 b3 c3 d3 - a4 b4 c4 d4
a1 b2 c3 d4 - b1 a2 d3 c4 - c1 d2 a3 b4 - d1 c2 b3 a4
d1 b2 a3 c4 - b1 d2 c3 a4 - c1 a2 b3 d4 - a1 c2 d3 b4
a1 d2 b3 c4 - b1 c2 a3 d4 - c1 b2 d3 a4 - d1 a2 c3 b4

[carroza]

Re: Máximo número de partidas de poker...

Hola.

Mi hipótesis es que para $n^2$ jugadores, puedes hacer $n+1$ rondas de $n$ mesas.

Lo he hecho explicitamente para n=2, n=3, n=4 y n=5. No tengo una demostración general. Todavía.

Mas adelante os cuento mi firma de atacar el problema, que tiene que ver con las permutaciones de n elementos.

Un saludo