Máximo número de partidas de poker...

[carroza]

Re: Máximo número de partidas de poker...

Hola.

Mi hipótesis es que para $n^2$ jugadores, puedes hacer $n+1$ rondas de $n$ mesas.

Lo he hecho explicitamente para n=2, n=3, n=4 y n=5. No tengo una demostración general. Todavía.

Mas adelante os cuento mi firma de atacar el problema, que tiene que ver con las permutaciones de n elementos.

Un saludo

[skan]

Re: Máximo número de partidas de poker...

¿Entonces cuántas rondas te salen cómo máximo para 64 jugadores en mesas de 8?

La solución para un caso más simple 16 jugadores en mesas de 4 es de 5 rondas:



a1 a2 a3 a4 - b1 b2 b3 b4 - c1 c2 c3 c4 - d1 d2 d3 d4
a1 b1 c1 d1 - a2 b2 c2 d2 - a3 b3 c3 d3 - a4 b4 c4 d4
a1 b2 c3 d4 - b1 a2 d3 c4 - c1 d2 a3 b4 - d1 c2 b3 a4
d1 b2 a3 c4 - b1 d2 c3 a4 - c1 a2 b3 d4 - a1 c2 d3 b4
a1 d2 b3 c4 - b1 c2 a3 d4 - c1 b2 d3 a4 - d1 a2 c3 b4

[skan]

Re: Máximo número de partidas de poker...

Hola de nuevo.

Creo que tendo una solución general, para el caso en el que tengamos un numero de jugadores $m^2$, que juegan de tal forma que hay m en cada mesa.

Primeramente, voy a probar que el número máximo de mesas posibles M, que cumplen que no hay dos mesas en las que se repitan dos jugadores es $M=m(m+1)$

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El numero de pares de jugadores posibles, partiendo de m^2 jugadores totales, es
$J=m^2 (m^2 -1)/2 = m^2(m-1)m(+1)/2$
El numero de pares de jugadores que hay en cada mesa, considerando los m jugadores, es
$j=m (m -1)/2$

Por tanto, el número máximo de mesas, supuesto que encontremos una estrategia de reparto en el que ninguna mesa tenga el mismo par de jugadores, es
$M = J/j = m(m+1)$

Ahora vamos a buscar una estrategia de reparto de los jugadores por las mesas, de forma que no haya la misma pareja de jugadores en dos mesas.

Me resulta util etiquetar los $m^2$ jugadores mediante un par de números (i,j), de forma que $i,j = 0, \dots m-1$. Cada jugador genérico (i,j) debe estar en (m+1) mesas, tales que los otros jugadores distintos de (i,j) no se repitan el las mesas. Si esto se cumple, tendremos (m+1) mesas en las que participa cada jugador, multiplicados por $m^2$ jugadores totales, divididos por m jugadores en cada mesa, igual a el máximo $M=m(m+1)$ .

La estrategia es la siguiente

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Primero, hacemos mesas para todos los jugadores de una fila dada (m mesas), y para todos los jugadores que están en una columna dada (otras m mesas)

El jugador (i,j) estará en la mesa de los jugadores de su fila, determinados por $(i,k), k=0 \dots m-1$, y en la mesa de los jugadores de su columna, determinados por $(k,j), k=0 \dots m-1$. Esto hacen dos mesas. Nos hace falta definir (m-1) mesas más, compuestas por jugadores que no están ni en la misma fila ni en la misma columna de (i,j).

Para ello, muy a recordar la suma modular: $(i+k)_m$, que se lee (i+k), modulo m, es el resto de dividir (i+k) por m. Por tanto, $(i+k)_m$ está siempre entre 0 y m-1.

Definimos ahora una mesa con los jugadores de la "diagonal" de (i,j). Esta mesa está formada por el jugador (i,j) y los jugadores $((i+k)_m,(j+k)_m), k=1 \dots m-1$. Fijadse que, en función de los valores (i,j), esta "diagonal" puede tener dos trozos.

Ahora, la mesa con los jugadores de la diagonal de (i,j), desplazada 1 unidad. Esta está formada por (i,j), y los jugadores $((i+k_{m-1}+1)_m,(j+k)_m), k=1 \dots m-1$.

Para clarificar,$k_{m-1}$, leido (k modulo (m-1)) es un numero entre 0 y m-2. Para k=6, y m=7, $k_{m-1}=0$.

La mesa de la diagonal de (i,j) desplazada 2 unidades esta formada por (i,j), y los jugadores $((i+(k+1)_{m-1} +1)_m ,(j+k)_m), k=1 \dots m-1$.

La mesa de la diagonal de (i,j) desplazada 3 unidades esta formada por (i,j), y los jugadores $((i+(k+2)_{m-1} +1)_m ,(j+k)_m), k=1 \dots m-1$.

De esta forma, podemos desplazar hasta m-2 unidades, obteniendo m-1 grupos diferentes, para el elemento (i,j), con diagonales desplazadas.

A ver que os parece. Agradeceria que probarais el procedimiento, para ver si se me ha colado algun gazapo.

Un saludo

Saludos

Como te lo curras.
Lo miraré a ver.

Por si te interesa también lo pregunté en un foro de mates y esto me dijeron, quedó un poco a medias.
http://rinconmatematico.com/foros/in...0669#msg380669

Y la solución general está aquí:
https://www.sciencedirect.com/scienc...12365X9190146S
y algún comentario aquí:
https://cs.stackexchange.com/questio...complete/67855

La cosa es que no tengo interés personal en el problema pero me gusta ir aprendiendo y pensé que debía haber algún método más fácil de hacerlo.

[carroza]

Re: Máximo número de partidas de poker...

Hola de nuevo.

Creo que tendo una solución general, para el caso en el que tengamos un numero de jugadores $m^2$, que juegan de tal forma que hay m en cada mesa.

Primeramente, voy a probar que el número máximo de mesas posibles M, que cumplen que no hay dos mesas en las que se repitan dos jugadores es $M=m(m+1)$

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El numero de pares de jugadores posibles, partiendo de m^2 jugadores totales, es
$J=m^2 (m^2 -1)/2 = m^2(m-1)m(+1)/2$
El numero de pares de jugadores que hay en cada mesa, considerando los m jugadores, es
$j=m (m -1)/2$

Por tanto, el número máximo de mesas, supuesto que encontremos una estrategia de reparto en el que ninguna mesa tenga el mismo par de jugadores, es
$M = J/j = m(m+1)$

Ahora vamos a buscar una estrategia de reparto de los jugadores por las mesas, de forma que no haya la misma pareja de jugadores en dos mesas.

Me resulta util etiquetar los $m^2$ jugadores mediante un par de números (i,j), de forma que $i,j = 0, \dots m-1$. Cada jugador genérico (i,j) debe estar en (m+1) mesas, tales que los otros jugadores distintos de (i,j) no se repitan el las mesas. Si esto se cumple, tendremos (m+1) mesas en las que participa cada jugador, multiplicados por $m^2$ jugadores totales, divididos por m jugadores en cada mesa, igual a el máximo $M=m(m+1)$ .

La estrategia es la siguiente

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Primero, hacemos mesas para todos los jugadores de una fila dada (m mesas), y para todos los jugadores que están en una columna dada (otras m mesas)

El jugador (i,j) estará en la mesa de los jugadores de su fila, determinados por $(i,k), k=0 \dots m-1$, y en la mesa de los jugadores de su columna, determinados por $(k,j), k=0 \dots m-1$. Esto hacen dos mesas. Nos hace falta definir (m-1) mesas más, compuestas por jugadores que no están ni en la misma fila ni en la misma columna de (i,j).

Para ello, muy a recordar la suma modular: $(i+k)_m$, que se lee (i+k), modulo m, es el resto de dividir (i+k) por m. Por tanto, $(i+k)_m$ está siempre entre 0 y m-1.

Definimos ahora una mesa con los jugadores de la "diagonal" de (i,j). Esta mesa está formada por el jugador (i,j) y los jugadores $((i+k)_m,(j+k)_m), k=1 \dots m-1$. Fijadse que, en función de los valores (i,j), esta "diagonal" puede tener dos trozos.

Ahora, la mesa con los jugadores de la diagonal de (i,j), desplazada 1 unidad. Esta está formada por (i,j), y los jugadores $((i+k_{m-1}+1)_m,(j+k)_m), k=1 \dots m-1$.

Para clarificar,$k_{m-1}$, leido (k modulo (m-1)) es un numero entre 0 y m-2. Para k=6, y m=7, $k_{m-1}=0$.

La mesa de la diagonal de (i,j) desplazada 2 unidades esta formada por (i,j), y los jugadores $((i+(k+1)_{m-1} +1)_m ,(j+k)_m), k=1 \dots m-1$.

La mesa de la diagonal de (i,j) desplazada 3 unidades esta formada por (i,j), y los jugadores $((i+(k+2)_{m-1} +1)_m ,(j+k)_m), k=1 \dots m-1$.

De esta forma, podemos desplazar hasta m-2 unidades, obteniendo m-1 grupos diferentes, para el elemento (i,j), con diagonales desplazadas.

A ver que os parece. Agradeceria que probarais el procedimiento, para ver si se me ha colado algun gazapo.

Un saludo

Saludos

[skan]

Re: Máximo número de partidas de poker...

Bravo, skan.

Si parto de la matriz 4x4, tu solución consiste en coger, para acompañar cada elemento, los elementos de su fila, los elementos de su columna y, quitando la fila y columna, los tres conjuntos de elementos que aparecen con un signo dado al hacer el determinante de la matriz 3x3 restantes.

Por ejemplo, para a, tienes lo de su fila
(a,bcd)
los de su columna
(a,eim)
y quitando fila y culumna, de la matriz 3x3 que te queda, la diagonal principal
(a,fkp)
y las dos diagonales paralelas, con el elemento opuesto
(a,gln)
(a,joh)

Saludos

Lo difícil, lo que yo no sé, es encontrar una formula que te lo diga para cualquier número de jugadores sin tener que hacer un bruteforce, por ejemplo 100 jugadores en bloques de 5, o 64 en grupos de 8. ¿Cómo harías eso con tu método?

Los matemáticos creo que lo hacen con cosas de álgebras F2,2, pero no entiendo nada.

[carroza]

Re: Máximo número de partidas de poker...

Bravo, skan.

Si parto de la matriz 4x4, tu solución consiste en coger, para acompañar cada elemento, los elementos de su fila, los elementos de su columna y, quitando la fila y columna, los tres conjuntos de elementos que aparecen con un signo dado al hacer el determinante de la matriz 3x3 restantes.

Por ejemplo, para a, tienes lo de su fila
(a,bcd)
los de su columna
(a,eim)
y quitando fila y culumna, de la matriz 3x3 que te queda, la diagonal principal
(a,fkp)
y las dos diagonales paralelas, con el elemento opuesto
(a,gln)
(a,joh)

Saludos

[skan]

Re: Máximo número de partidas de poker...

Uy, perdonad, pero se me había olvidado indicar la opción de recibir correos automáticos.

Para este caso me salen que cada jugador como mucho puede hacer hasta 5 rondas.

Por ejemplo

abcd-efgh-ijkl-mnop
aeim-bfjn-cgko-dhlp
afkp-ebol-inch-mjgd
mfcl-enkd-ibgp-ajoh
angl-ejcp-ifod-mbkh

Lo difícil es obtener una formula genérica para números mayores.


Otra cosa es que esas 5 rondas puden darse de diferentes maneras, pero eso es más complicado de usar.

5 partidas.
El jugador tiene 15 contrincantes. En cada partida juega con 3 de ellos.

Saludos.

Esa es la respuesta trivial, y en este caso coincide pero en general no. La razón es muy simple, no estás comprobando que los demás jugadores no vuelvan a coincidir entre sí.
Como máximo cada uno juega 5 rondas pero después hay que justificar que efectivamente existe alguna configuración de grupos donde se alcanza ese máximo posible.

- - - Actualizado - - -

Hola.

Un problema clásico de combinatoria es, partiendo de m elementos, obtener todos los grupos de n elementos diferentes, sin importar el orden de estos n. Esto se denomina "combinaciones de m elementos tomados de n en n", y se representa por el numero combinatorio

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

En tu caso, [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Saludos

Eso no es lo mismo, eso sería las formas en las que puedes agrupar 16 individuos en grupos de 4, pero no tiene en cuenta que las agrupaciones simultáneas ni la condición de que no vuelvan a coincidir...

[Richard R Richard]

Re: Máximo número de partidas de poker...

Ok, R3. Tienes razon.

Una forma gráfica de ver los grupos es hacer una matriz 4x4 de los 16 jugadores.

$\begin{array}{cccc} a&b&c&d \\ e&f&g&h \\ i&j&k&l \\ m&n&o&p<br /> \end{array}$

Las primeras 4 partidas de grupos de 4 las pueden hacer los que están en la misma fila: $(abcd), (efgh), (ijkl), (mnop)$

Las segundas 4 partidas de grupos de 4 las hacen los que estan en la misma columna: $(aeim), (bfjn), (cgko), (dhlp)$

Las terceras 4 partidas las hacen las que estan en la diagonal principal, y sus paralelas (tipo determinante): $(afkp), (bglm), (chin), (dejo)$.

Y a partir de aqui, no puedo hacer ningun grupo de 4 que no se hayan visto antes.

Saludos

Jajaja!!! Me has espiado las cartas???
Tengo la misma matriz con las mismas filas y diagonales hechas en papel y lapiz... Saludos

[carroza]

Re: Máximo número de partidas de poker...

Hola.

Un problema clásico de combinatoria es, partiendo de m elementos, obtener todos los grupos de n elementos diferentes, sin importar el orden de estos n. Esto se denomina "combinaciones de m elementos tomados de n en n", y se representa por el numero combinatorio

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

En tu caso, [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Saludos

[d_tentor]

Re: Máximo número de partidas de poker...

Hola "ninguno coincida otra vez" lo interpretó cómo "ningún jugador coincide otra vez en el mismo grupo".

Sería interesante que el autor del tema lo aclare, de cualquier forma no es lo que se interpreta, es lo que se dice.

Si lo interpretas cómo "ningún grupo de 4 coincide otra vez" entonces la solución es trivial. Combinaciones de 16 tomadas de 4 en 4.

Saludos.

Tal vez soy medio ignorante, ¿te podrías explayar mas?

[carroza]

Re: Máximo número de partidas de poker...

Hola "ninguno coincida otra vez" lo interpretó cómo "ningún jugador coincide otra vez en el mismo grupo".

Si lo interpretas cómo "ningún grupo de 4 coincide otra vez" entonces la solución es trivial. Combinaciones de 16 tomadas de 4 en 4.

Saludos.

[d_tentor]

Re: Máximo número de partidas de poker...

Y a partir de aqui, no puedo hacer ningun grupo de 4 que no se hayan visto antes.

El grupo (abgh) no está, tampoco (abkl) y tantos más.

En el enunciado

Luego vuelves a hacer subgrupos de modo que ninguno coincida otra vez.

Refiere a ningun subgrupo, no a jugadores.

En tal caso, aun cuando algunos jugadores coincidan los grupos son distintos.

Generalizando:
J = Cantidad total de jugadores
M = Cantidad de jugadores por mesa
C = Cantidad de mesas posibles

$C = \sum_{i=1}^{J-(M-1)}i(i+1)/2$

[carroza]

Re: Máximo número de partidas de poker...

Ok, R3. Tienes razon.

Una forma gráfica de ver los grupos es hacer una matriz 4x4 de los 16 jugadores.

$\begin{array}{cccc} a&b&c&d \\ e&f&g&h \\ i&j&k&l \\ m&n&o&p<br /> \end{array}$

Las primeras 4 partidas de grupos de 4 las pueden hacer los que están en la misma fila: $(abcd), (efgh), (ijkl), (mnop)$

Las segundas 4 partidas de grupos de 4 las hacen los que estan en la misma columna: $(aeim), (bfjn), (cgko), (dhlp)$

Las terceras 4 partidas las hacen las que estan en la diagonal principal, y sus paralelas (tipo determinante): $(afkp), (bglm), (chin), (dejo)$.

Y a partir de aqui, no puedo hacer ningun grupo de 4 que no se hayan visto antes.

Saludos

[d_tentor]

Re: Máximo número de partidas de poker...

Tu estas hablando de que no se repita el mismo subgrupo y nosotros que no se enfrenten el mismo par de jugadores en cualquier mesa.

No tengo la mímima idea de como se juega poker, pensé que se enfrentaban 4 contra 4.

De cualquier modo, el enunciado habla de que no se repitan los subgrupos.
Si fuera ese el caso, ¿el resultado sería correcto?
Buscando un poco las mesas son variables, si el enunciado dice que las mesas son de 4 entonces estimo que mi planteo estaba bien.

[Richard R Richard]

Re: Máximo número de partidas de poker...

Tu estas hablando de que no se repita el mismo subgrupo y nosotros que no se enfrenten el mismo par de jugadores en cualquier mesa.