1r ciclo Probabilidad de obtener un número al tirar n dados

[MrM]

Buenos días. Estoy un poco verde en estadística, así que tengo un par de dudas.
El problema que he planteado es el siguiente:
"Si yo lanzo n dados y llamo k a la suma de los resultados obtenidos, hallar la probabilidad asociada a cada k".

Lo que he hecho hasta ahora es:

La función generadora de probabilidad para UN dado es trivial: $P_1(x)=\sum_{k = 1}^6 p_k x^k=\frac{1}{6}(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)$.
A partir de ahí, es trivial que la función generadora para n dados es $P_n(x)=\frac{1}{6^n}(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)^n$.

Por definición de función generadora, si quiero saber la probabilidad de sumar k al tirar n dados basta con desarrollar la función anterior y comprobar el coeficiente que acompaña a $x^k$.
Por lo tanto, mi pregunta es doble:

¿Alguien conoce una expresión, fórmula o teorema para desarrollar un término del tipo $(x+x^2+...+x^m)^n$?

¿Alguien conoce otro método para hallar $p_k$ más sencillo que el que estoy usando yo?

Gracias y un saludo.

[Fortuna]

Re: Probabilidad de obtener un número al tirar n dados

Puedes desarrollar el sumando como la suma de los términos de una progresión geométrica

$S:=x\dfrac{x^m-1}{x-1}=\dfrac{x^{m+1}}{x-1}-\dfrac{x}{x-1}$

Después desarrollar con el binomio

$S^n=(\dfrac{x^{m+1}}{x-1}-\dfrac{x}{x-1})^n=\sum_{i=0}^n (-1)^i \binom{n}{i}(\dfrac{x^{m+1}}{x-1})^i(\dfrac{x}{x-1})^{n-i}=\sum_{i=0}^n (-1)^i \binom{n}{i}\dfrac{x^{mi+n}}{{(x-1)}^n}$

El denominador se puede sacar del sumatorio, pues no depende de i. Lo mismo courre con el +n

$S^n=\dfrac{x^n}{(x-1)^n}\cdot \sum_{i=0}^{n} (-1)^i\binom{n}{i}x^{mi}$

De la suma original, el exponente mayor debe ser $x^{m\cdot n}$ y el menor $x^n$

A pesar de que aparece en denominador un término en x-1, esa suma se debe poder expresar como $S^n=\sum_{k=n}^{m\cdot n} a_kx^k=x^n\cdot \sum_{k=0}^{m\cdot n -n} a_k x^k$ por la forma de la ecuación original

igualando ambas expresiones

$\sum_{i=0}^{n} (-1)^i\binom{n}{i}x^{mi}=(x-1)^n\cdot \sum_{k=0}^{m\cdot n -n} a_k x^k$

Luego continuo, voy a recargar energías. Los pasos serían desarrollar el binomio de $(x-1)^n$, realizar el producto y ver si se puede establecer una relación uno a uno con los coeficientes de igual exponente. Aunque me da a mi que que va a salr algo complicado.

[MrM]

Re: Probabilidad de obtener un número al tirar n dados

¡Muchas gracias por tu aportación! Al final encontré una fórmula, la fórmula de recurrencia de Villarreal, que me permitió calcular (computacionalmente, eso sí) los coeficientes. Aún así, cuando tenga un hueco tiraré del método que me has comentado tú, puede ser interesante ver a dónde se llega.

Un saludo.

[Fortuna]

Re: Probabilidad de obtener un número al tirar n dados

Aún así, cuando tenga un hueco tiraré del método que me has comentado tú, puede ser interesante ver a dónde se llega.

Ni se te ocurra, al final sale un sistema de ecuaciones diofánticas que es incluso muy difícil de plantear .

por cierto, los últmos $a_k$ son $a_{k+n}$


Saludos.