Otras carreras Distribución de probabilidad chi cuadrado

[MrM]

¡Buenos días!
Tengo que hacer un problema que dice así:
Sea una variable aleatoria $\chi^2=Z_1^2+Z_2^+...+Z_n^2$, siendo cada $Z_k$ variables aleatorias independientes distribuidas según:

$\dst N(0,1)\equiv f(Z)=$ $\dst \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{1}{2}Z^2}$

Se pide hallar la distribución de probabilidad de $\chi^2$.



Mi intento de solución:

Lo primero que he hecho es definir la variable $H=Z^2\Rightarrow dH=2ZdZ$. Veamos cuál es la distribución de probabilidad de $H$:

$\dst f(H)dH=f(Z)dZ\Rightarrow f(H)=f(Z)\frac{dZ}{dH}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{1}{2}H}\frac{1}{2\sqrt{H}}$

Ahora bien, bajo mi cambio de variable, la variable $\chi^2$ queda:

$\chi^2=H_1+H_2+H_3+...$

Ahora bien, por ser variables independientes, tenemos que la función de densidad de $\chi^2$ será igual a la convolución de las densidades de los $H_k$.

Aquí es donde me pierdo.
Mis dudas son dos:
a) ¿Hasta ahora está todo correcto? Es que a veces me lío un poco con estas cosas, y no sé si he hecho bien el cambio de variable de $H=Z^2$.
b) ¿Cómo hago la convolución de tantas funciones a la vez? Había hecho antes convoluciones de dos funciones, pero nunca de n...

EDITO: se me acaba de ocurrir que, como el teorema de convolución establece que:

$\mathcal{F}(f*g)=\mathcal{F}f *\mathcal{F}g$

Podría hacer primero la trasnformada de Fourier (o Laplace) a la función densidad de un $H_k$, y luego elevar a la enésima potencia y deshacer la transformada. ¿Eso sería correcto?

Gracias y un saludo.