Otras carreras Probabilidad de colisión

[Alriga]

En un volumen conocido “V” tengo un número conocido de partículas “N” que se mueven de forma aleatoria, (no necesariamente rectilínea) por el interior. Sé que el tiempo medio entre colisiones para una partícula cualquiera es “T” (dato)

1) ¿Cómo calculo cuántas colisiones “n” habrá en promedio en todo el volumen en un tiempo dado “$\boldsymbol{t_1}$” (dato)?

¿Es tan simple como $n=N \ \dfrac{t_1} T$ ?

2) Si elegimos 1 partícula cualquiera, ¿cuál es la probabilidad de que sufra por lo menos 1 colisión en un tiempo dado “$\boldsymbol{t_2}$”

3) ¿Cual es la probabilidad de que haya por lo menos 1 colisión en todo el volumen en un tiempo dado “$\boldsymbol{t_3}$”

Gracias y saludos.

[Jaime Rudas]

Re: Probabilidad de colisión

En un volumen conocido “V” tengo un número conocido de partículas “N” que se mueven de forma aleatoria, (no necesariamente rectilínea) por el interior. Sé que el tiempo medio entre colisiones para una partícula cualquiera es “T” (dato)

1) ¿Cómo calculo cuántas colisiones “n” habrá en promedio en todo el volumen en un tiempo dado “$\boldsymbol{t_1}$” (dato)?

¿Es tan simple como $n=N \ \dfrac{t_1} T$ ?

Como cada colisión involucra a dos partículas, yo diría que $n=\dfrac{N \ t_1}{2 T}$

[Richard R Richard]

Re: Probabilidad de colisión

Yo diria que uses la distribución de weibull
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Distribución_de_Weibull
La tasa de choque ya supone que el choque fue contra otra particula.

[Jaime Rudas]

Re: Probabilidad de colisión

Yo diria que uses la distribución de weibull
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Distribución_de_Weibull

Y ¿por qué no la distribución de Poisson?

La tasa de choque ya supone que el choque fue contra otra particula.

Supongamos que cada partícula choca una vez por segundo. Para el caso de un volumen de dos partículas, habrá, en total, una colisión por segundo, no dos.

[Alriga]

Re: Probabilidad de colisión

Como cada colisión involucra a dos partículas, yo diría que $n=\dfrac{N \ t_1}{2 T}$

Eso me sugiere mejor:

1)

¿¿ [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] ??

para garantizar que si solo hay una partícula salga n = 0 y si hay 2 partículas salga 1 choque en $t_1=T$

Yo diria que uses la distribución de weibull
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Distribución_de_Weibull

Umm,... no creo, la Distribución de Weibull es continua y mi problema es discreto.

Y ¿por qué no la distribución de Poisson?

2)

$f(k,\lambda)=\dfrac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$

¿¿ Cuánto vale $\lambda$ ??

¿¿ $\lambda=\dfrac{t_2}T$ ??

Entonces la probabilidad de exactamente k colisiones sería

¿¿ $p(k)=\dfrac{e^{-t_2/T} \ \Big ( \dfrac{t_2}T \Big )^k}{k!}$ ??

¿¿ Eso significaría que la probabilidad de al menos 1 colisión durante $t_2$ sería

$p=1-p(0)=1-e^{-t_2/T}$ ??

¿Como se hace el apartado (3)?

Saludos.

[Ulises7]

Re: Probabilidad de colisión

Lo estoy intentando resolver mediante la mecánica estadística y aunque creo que me estoy acercando no consigo resolverlo con las variables dadas.

Si partimos de la densidad de flujo molecular $J_0$ que es el número de partículas que atraviesan una determinada superfície por unidad de tiempo en el equilibrio:

$J_0 = \dfrac{1}{4} n' \bar{v}$

Siendo $n'$ la densidad molecular y $\bar{v}$ su velocidad media.

El número de choques que nos piden $n$ vendrá dado por la integral:

$\dst n = \int J_0 \dd S = \dfrac{1}{4}N \bar{v}$

Siendo $N$ el número de partículas. La velocidad media por definición respecto al recorrido libre medio $l$ y tiempo medio entre colisiones $\tau$ es:

$\bar{v} = \dfrac{l}{\tau}$

Por tanto $n = \dfrac{N l}{4 \tau}$

$\tau$ es conocida (es el T en este problema) y N también, faltaría averiguar el recorrido libre medio. El resultado clásico de l es:

$l = \dfrac{1}{\sqrt{2} n' \sigma}$

Siendo $\sigma$ la sección eficaz de colisión. En el modelo clásico de esferas duras $\sigma = 4 \pi r^2$ con $r$ como radio de la partícula. Pero no tenemos estos datos así que tal cual los presento no nos sirven...

También se puede intentar trabajar con el coeficiente de difusión $D$, en este caso al ser d=3 y movimiento aleatorio supuestamente estadísticamente independientes entre sí las colisiones, se obtiene:

$D = \dfrac{s^2}{6 \Delta t}$

Siendo $s$ el tramo que recorre una molécula en un tiempo $t$ y $\Delta t$ el intervalo fundamental de tiempo escogido con $t = \alpha \Delta t$.

[Richard R Richard]

Re: Probabilidad de colisión

Hola ahora si tengo realmente tiempo de ayudarte...


Tu formula [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

parece correcta si hay una única bola , la probabilidad de colisión con otra es nula

si hay 2 tiene que haber una colisión en el tiempo medio de colisión, dos en el doble de tiempo , pero si hay tres también es el triple porque los combinatorios coinciden, pero si son 4 ya no es el cuádruple y el combinatorio$C^{p}_n=\binom{n}{p} = \frac{n!}{p!(n-p)!}$ es 6

las particulas que pueden chocar son

1 y 2
1 y 3
1 y 4
2 y 3
2 y 4
y
3 y 4

es decir [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]


para 2 la función que tienes que usar es la poisson como dice Jaime, no había prestado atención a la continuidad.

$f(k,\lambda)=\dfrac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$

donde lambda es n el número de veces que ocurre un choque en ese tiempo $t_2$

aquí como ya elegimos una partícula puede chocar con las N-1 restantes entonces

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

la probabilidad de 1 o más colisiones es igual a 1 menos la probabilidad de que no suceda ninguna colisión en ese lapso de tiempo

$G(1,n)=1-F(0,n)=1-P(0,n)<br />$
con
$P(0,n)=f(0,n)=\dfrac{e^{-n} \lambda^0}{0!}$


y para 3 aplica [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

y nuevamente

$G(1,n)=1-F(0,n)=1-P(0,n)$
con
$P(0,n)=f(0,n)=\dfrac{e^{-n} \lambda^0}{0!}$

Saludos

[Alriga]

Re: Probabilidad de colisión

Gracias por responder $\mathbb{R}^3$, pero la solución que das para el apartado (2) no la entiendo. Ese apartado dice en el enunciado:

2) Si elegimos 1 partícula cualquiera, ¿cuál es la probabilidad de que (ella) sufra por lo menos 1 colisión en un tiempo dado “$\boldsymbol{t_2}$”

para (2) la función que tienes que usar es la Poisson como dice Jaime, no había prestado atención a la continuidad.
$f(k,\lambda)=\dfrac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$
donde lambda es n el número de veces que ocurre un choque en ese tiempo $t_2$

Si lambda es el número de veces en promedio que la partícula elegida sufre un choque en el tiempo $t_2$ a mí me parece que debería ser simplemente.

$\lambda=\dfrac{t_2}T$

Entonces la probabilidad de que mi partícula elegida sufriese exactamente k colisiones sería:

$p(k)=\dfrac{e^{-t_2/T} \ \Big ( \dfrac{t_2}T \Big )^k}{k!}$

Y eso significaría que la probabilidad de al menos 1 colisión durante $t_2$ sería

$p=1-p(0)=1-e^{-t_2/T}$

No entiendo por qué dices

aquí como ya elegimos una partícula puede chocar con las N-1 restantes entonces
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
la probabilidad de 1 o más colisiones es igual a 1 menos la probabilidad de que no suceda ninguna colisión en ese lapso de tiempo
$G(1,n)=1-F(0,n)=1-P(0,n)<br />$
con
$P(0,n)=f(0,n)=\dfrac{e^{-n} \lambda^0}{0!}$

Pones “n” como exponente del número “e” en:

$P(0,n)=f(0,n)=\dfrac{e^{-n} \lambda^0}{0!}$

y antes has dicho

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

pero el exponente del número “e” en la fórmula de Poisson es lambda, por lo tanto, según tú

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Repito, no lo entiendo, según la Wikipedia

lambda representa el número de veces que se espera que ocurra el fenómeno durante un intervalo dado. Por ejemplo, si el suceso estudiado tiene lugar en promedio 4 veces por minuto y estamos interesados en la probabilidad de que ocurra k veces dentro de un intervalo de 10 minutos, usaremos un modelo de distribución de Poisson con λ = 10×4 = 40

En mi caso, una partícula cualquiera sufre una colisión cada “T” en promedio (dato) = sucede 1 vez por T es decir (1/T). Por analogía, si yo estoy interesado en la probabilidad de que ocurra k veces dentro de un intervalo “$t_2$” debería usar un modelo de distribución de Poisson con

$\lambda = t_2\cdot (1/T)=\dfrac{t_2}T$

Tu explicación de la solución al apartado (3) tampoco la entiendo.

Lo estoy intentando resolver mediante la mecánica estadística y aunque creo que me estoy acercando no consigo resolverlo con las variables dadas …

Gracias por intentarlo. No sé si te puede servir que la velocidad media $\bar v$ también es un dato, lo que permite calcular también el recorrido libre medio como $\bar r=\bar v T$

Saludos.

[Jaime Rudas]

Re: Probabilidad de colisión

En este enlace hay un par de ejemplos resueltos de aplicación de la distribución de Poisson que quizás te ayuden.

Saludos

[Ulises7]

Re: Probabilidad de colisión

Gracias por intentarlo. No sé si te puede servir que la velocidad media $\bar v$ también es un dato, lo que permite calcular también el recorrido libre medio como $\bar r=\bar v T$

Saludos.

¿$\bar{v}$ es un dato? Entonces creo que ya lo tengo, a menos que haya tenido algún desliz...

Antes había escrito:

$\dst n = \int J_0 \dd S = \dfrac{1}{4}N \bar{v}$

Que son el número de colisiones en un determinado volumen por unidad de tiempo. A esta variable habría que multiplicar por $t_1$ para que sea efectivamente la $n$ buscada (simbología desafortunada), entonces la $n$ buscada es:

$n = \dfrac{1}{4}N \bar{v} t_1$

Para llegar a este resultado se han dado por válidas dos hipótesis (que no se especifican en el enunciado pero que precisamente al omitirse las doy por válidos por razonamientos físicos):

1. El sistema está en equilibrio. Esto explica que no dependa del volumen (el motivo es que en el equilibrio la velocidad media depende sólo de la temperatura de las partículas y de su masa pero esta es fija). El argumento físico es que un sistema tiende siempre al equilibrio en un tiempo dado por el tiempo de relajación a menos que haya factores externos que lo empujen fuera del equilibrio.

2. Los choques son estadísticamente independientes. La presunción es que es que no hay dirección privilegiada, así los choques son isótropos y sobretodo, que el recorrido libre medio es mucho mayor que el radio de las partículas.

[Richard R Richard]

Re: Probabilidad de colisión

Sé que el tiempo medio entre colisiones para una partícula cualquiera es “T” (dato)

Hola , ese una subrayado me hace bastante ruido, Por ahí conoces algo más del contexto del problema, y yo no te he podido guiar correctamente...,interpretas que el número de colisiones de una partícula en un intervalo de tiempo , es independiente del número de partículas dentro del volumen? Y aparte dato? No sería lo mismo 2 partículas en un volumen V que un millón, y cada una con la misma tasa de choques por unidad de tiempo.

Pero si $T$ es el tiempo medio entre colisiones con otras partículas para cualquier partícula de las $N$ que se encuentran dentro del volumen $V$ entonces sería correcto lo que afirmas , el número de colisiones promedio para ese número de partículas crece linealmente con el tiempo es decir para el apartado 2 sería parecido a lo que afirmas

Si lambda es el número de veces en promedio que la partícula elegida sufre un choque en el tiempo $t_2$ a mí me parece que debería ser simplemente.

$\lambda=\dfrac{t_2}T$

ojo!!! te piden el de una sola no el de todo el volumen, por eso debes dividir por el número de partículas

Pero te hemos interpretado ese tiempo T como una propiedad para una o cada partícula, de hecho suponemos es N variable, y por eso la tasa entre choques dentro del volumen depende de ese número...Pero si es una constante del sistema entonces el párrafo anterior es correcto.

Entonces la probabilidad de que mi partícula elegida sufriese exactamente k colisiones sería:

$p(k)=\dfrac{e^{-t_2/T} \ \Big ( \dfrac{t_2}T \Big )^k}{k!}$

Y eso significaría que la probabilidad de al menos 1 colisión durante $t_2$ sería

$p=1-p(0)=1-e^{-t_2/T}$

Siguiendo esa línea el razonamiento lo veo correcto, pero si sería correcta para el punto 3 con tiempo $t_3$, la cantidad de choques por unidad de tiempo $\dfrac 1T$ es producida por las N partículas, si quieres la tasa de una sola debes dividirla por N

$\lambda_3=\dfrac{t_3}{T}<br />$

$\lambda_2=\dfrac{t_2}{NT}<br />$

No entiendo por qué dices....

Te reitero que te hemos interpretado que T es el tiempo entre colisiones con una "unica" partícula, si es sistema se compone de N sería lógico que esa tasa disminuye con el número de partículas, o o que el número de colisiones del sistema aumente con el número de partículas.

Siendo coherente a N constante , la inversa del tiempo medio entre colisiones es el número medio de colisiones por unidad de tiempo. Que multiplicado por el tiempo de muestreo , te da el número medio de colisiones esperadas, luego aplicando esto en la distribución de Poisson, calculas la probabilidad de 1 o mas colisiones como 1 menos la probabilidad de que no ocurran colisiones en el tiempo de muestra.

[Alriga]

Re: Probabilidad de colisión

Richard, gracias por intentar ayudar. En un volumen conocido “V” tengo un número conocido de partículas “N” que se mueven de forma aleatoria por el interior. Los valores de N y de V son fijos para las 3 cuestiones y conocidos.

Todas las partículas son equivalentes. Y es conocido que si yo me subo a una partícula (cualquiera) sufriré en promedio 1 colisión cada tiempo “T”, este “T” también es dato del problema.

Lo recalco más, mi partícula elegida “auto de choque en el que voy subido” sufre en promedio 1 choque en T, 2 choques en 2T, 3 choques en 3T, etc

Ya no hay más datos. Empecemos por la cuestión (2) que pregunta.

2) ¿Cómo se calcula la probabilidad de que la partícula “auto de choque” en la que voy subido sufra por lo menos 1 colisión en un tiempo dado “$\boldsymbol{t_2}$”?

Aquí es en donde a sugerencia de Jaime Rudas utilicé la Ley de Poisson de este modo:

$\lambda=\dfrac{t_2}T$

$p(k)=\dfrac{e^{-t_2/T} \ \Big ( \dfrac{t_2}T \Big )^k}{k!}$

$p(0)= e^{-t_2/T}$

$p(al \ menos \ 1 \ colision)=1-p(0)=1- e^{-t_2/T}$

¿Estamos de acuerdo que esta cuestión (2) se ha resuelto correctamente?

Las otras 2 cuestiones que planteo son:

1) ¿Cuántas colisiones “n” habrá en promedio en todo el volumen en un tiempo dado “$\boldsymbol{t_1}$”?

Ahora estoy fuera del volumen V y mirándolo. Ahora lo que quiero saber es, si cronometro un tiempo “$\boldsymbol{t_1}$”, cuantas colisiones totales dentro del volumen veré en promedio en ese tiempo.

4) Ahora también estoy fuera del volumen V y mirándolo. Ahora lo que quiero saber es, si cronometro un tiempo “$\boldsymbol{t_4}$”, cuál es la probabilidad de que no vea ninguna colisión en ese tiempo.

En este enlace hay un par de ejemplos resueltos de aplicación de la distribución de Poisson que quizás te ayude …

Gracias Jaime, pero eso era justo lo que no me apetecía hacer. Hice una asignatura de probabilidad y estadística en 3º de carrera hace 39 años. Como en mi vida profesional no he vuelto a tocar el tema mis recuerdos son bastante neblinosos. No me apetecía ponerme a buscar los viejos apuntes amarillos y reestudiarlos. Sinceramente, pensaba que para estos listísimos grados y masters en Física que corren por aquí, que se pasan el día calculando complicadísimas estadísticas de Fermi-Dirac, de Bose-Einstein, Teoremas de Equipartición y cosas así, estas cuestiones les parecerían tan fáciles que me darían la solución en un minuto.

Lo estoy intentando resolver mediante la mecánica estadística y aunque creo que me estoy acercando no consigo resolverlo con las variables dadas …

Gracias Ulises7 por intentar ayudar

… Si partimos de la densidad de flujo molecular $J_0$ que es el número de partículas que atraviesan una determinada superfície por unidad de tiempo en el equilibrio:
$J_0 = \dfrac{1}{4} n' \bar{v}$
Siendo $n'$ la densidad molecular y $\bar{v}$ su velocidad media …

¿Por qué? ¿De dónde sale esa expresión?

… El número de choques que nos piden $n$ vendrá dado por la integral:
$\dst n = \int J_0 \dd S = \dfrac{1}{4}N \bar{v}$
Siendo $N$ el número de partículas.

¿Por qué? ¿De dónde sale esa expresión? ¿Cuáles son los límites de la integral?

Gracias a los tres, saludos.

[Ulises7]

Re: Probabilidad de colisión

¿Por qué? ¿De dónde sale esa expresión?

Sale de aplicar la distribución de Maxwell a un gas en equilibrio.

La distribución de Maxwell es:

$\dst f(\mathbf{v}) \dd^3 \mathbf{v} = n \left ( \dfrac{\beta \pi}{2 \pi} \right )^{3/2} e^{- \beta \frac{m v^2}{2}} \dd^3 \mathbf{v}$

Con $\beta = \dfrac{1}{k T}$

El número de moléculas que escapan a través de un orificio por unidad de tiempo y de superficie es (con z siendo el eje perpendicular al orificio):

$J (\mathbf{v}) \dd^3 \mathbf{v} = f(\mathbf{v}) v_z \dd^3 \mathbf{v}$

Si $z>0$ es hacia fuera del orificio, sólo se contarán aquellas partículas con $v_z > 0$, por tanto:

$\dst J_0 = \int_{-\infty}^{\infty} \dd v_x \int_{-\infty}^{\infty} \dd v_y \int_{0}^{\infty}f(\mathbf{v}) v_z \dd v_z$

Las integrales se pueden resolver con:

$\dst \int_{- \infty}^{\infty} e^{-ax^2}\dd x = \sqrt{\dfrac{\pi}{a}}$

Y el resultado es: $\boxed{J_0 = \dfrac{1}{4} n \bar{v}}$

Con $\bar{v} = \sqrt{\dfrac{8kT}{\pi m}}$ y $n = \dfrac{N}{V}$

Esta densidad de flujo molecular es muy útil porque ahora podemos contar el número de partículas que atraviesan una determinada superficie $S$ por unidad de tiempo, simplemente haciendo su producto: $J_0 S$. Por tanto si tomamos un diferencia de superficie esférica $\dd S$ (porque las moléculas al moverse aleatoriamente en 3d se mueven de forma isótropa y no hay ángulo preferido en su movimiento, tienen simetría esférica) podremos calcular cuantas partículas por unidad de tiempo chocan con esta superficie infinitesimal, si integramos para todas las superficies que están contenidas en $V$ obtendremos todos los choques por unidad de tiempo con estas superfícies:

$\dst \int_{0}^{R} J_0 \dd V = \dfrac{1}{4} \dfrac{N \bar{v}}{V} \int_0^R 4 \pi r^2 \dd r=\dfrac{1}{4} N \bar{v}$

Y ahora si queremos saber cuantos chocan con estas superficies en un tiempo $t_1$ simplemente será su producto. Pero ahora al hacerlo detalladamente me he dado cuenta que lo que expongo es la cantidad de choques "virtuales" sobre estas superfícies imaginarias (las cebollas esféricas contenidas en $V$) no los choques reales con otras partículas. Por tanto lo que hay que calcular ahora es la fracción de partículas que están contenidas en una determinada capa $\dd S$ y el resultado pedido ($n$) será el producto de lo obtenido por lo faltante.

Y aquí ya sí que de momento estoy atascado. Entiendo que se puede conseguir de nuevo por argumentos de equilibrio, ya que la probabilidad de encontrar $x$ partículas en un determinado volumen interior será simplemente: $P(x) = \dfrac{V_{int}}{V}$ y estas se tendrán que distribuir de forma homogénea por $\dd S$...