1r ciclo Suma de varianza de dos muestras con numero de elementos diferentes

[Pumukix]

Mi duda es. ¿Como sumo dos varianzas de dos muestras con numero de elementos diferentes? Lo necesito saber para hacer el siguiente ejercicio:

De una muestra de 97 elementos sabemos que la media es de 3.3 y la desviación tipo es 1.8. Si añadimos tres elementos (3.5, 3.6, 3.7). Cuanto valdrá la varianza de la nueva muestra de 100 elementos?

Hay tres opciones: a) 3.145619 b)3.273112 c)3.100507

[Juanma1976]

Re: Suma de varianza de dos muestras con numero de elementos diferentes

Hola, no tienes que sumas dos varianzas.
Te dan la media y la desviación (por tanto de la varianza) de la muestra con 97 elementos. Tienes que calcular la varianza de la muestra con 100 de la siguiente manera:

$\overline{x}=\displaystyle\sum_{n=0}^{97}\frac{x_n}{97}=3.3$
y
$\overline{x^2}=\displaystyle\sum_{n=0}^{97}\frac{x_n^2}{97}$

La varianza (desviación al cuadrado) se puede calcular así

$s^2=\overline{x^2}-\overline{x}=1.8^2$

Si aislas los sumatorios de arriba

$97\overline{x}=\displaystyle\sum_{n=0}^{97}x_n$ y $97\overline{x^2}=\displaystyle\sum_{n=0}^{97}x_n^2$

podremos recalcular los sumatorios con 100 elementos

$3.5+3.6+3.7+97\overline{x}=3.5+3.6+3.7+\displaystyle\sum_{n=0}^{97}x_n=\displaystyle\sum_{n=0}^{100}x_n$
y
$3.5^2+3.6^2+3.7^2+97\overline{x^2}=3.5^2+3.6^2+3.7^2\displaystyle\sum_{n=0}^{97}x_n^2=\displaystyle\sum_{n=0}^{100}x_n^2$

Sumando y dividiendo entre 100

$\overline{z}=\displaystyle\sum_{n=0}^{100}\frac{x_n}{100}=\frac{97\overline{x}+10.8}{100}$

y

$\overline{z^2}=\displaystyle\sum_{n=0}^{100}\frac{x_n^2}{100}=\frac{97\overline{x^2}+38.9}{100}=\frac{97(s^2+\overline{x}^2)+38.9}{100}$

La varianza que te piden es

$S'^2=\overline{z^2}-\overline{z}^2$

Saludos.

Mi duda es. ¿Como sumo dos varianzas de dos muestras con numero de elementos diferentes? Lo necesito saber para hacer el siguiente ejercicio:

De una muestra de 97 elementos sabemos que la media es de 3.3 y la desviación tipo es 1.8. Si añadimos tres elementos (3.5, 3.6, 3.7). Cuanto valdrá la varianza de la nueva muestra de 100 elementos?

Hay tres opciones: a) 3.145619 b)3.273112 c)3.100507

[Pumukix]

Re: Suma de varianza de dos muestras con numero de elementos diferentes

Segun lo que entendi es esto:

sumatorio de valores de la muestra al cuadrado
[97*(3.3)² +(3.5)² + (3.6)² +(3.7)²]/100 = 10.9523

Media de valores de la muestra
[97*(3.3) +(3.5) + (3.6) +(3.7)]/100 = 3.309


Entonces con la formula de la varianza obtengo:

Varianza= (valores de la muestra al cuadrado) - (la media al cuadrado)
Varianza= (10.9523) - (3.309)² = 0.002819

Este resultado no me cuadra, no se en que he fallado. Yo diria que no se puede elevar al cuadrado el 3.3 para obtener el sumatorio de valores al cuadrado, aunque no estoy seguro.


Por otro lado habia pensado que se podria hacer sumando las varianzas individuales de cada muestra de la siguiente manera.

[3.24*97 +0.0066666*3]/97+3 = 3.143

Siendo 3.24 la varianza de la primera muestra y 0,0066666 la varianza de la segunda muestra. En este caso me da un resultado mas parecido a las posibles soluciones pero no exacto.

[Juanma1976]

Re: Suma de varianza de dos muestras con numero de elementos diferentes

Tienes esta parte mal:

sumatorio de valores de la muestra al cuadrado
$[97*(3.3)^2 +(3.5)^2 + (3.6)^2 +(3.7)^2]/100 = 10.9523$

en realidad es

sumatorio de valores de la muestra al cuadrado
$[97*((3.3)^2+1.8^2) +(3.5)^2 + (3.6)^2 +(3.7)^2]/100 = 14.0951$

Por lo que la respuesta correcta es

$s^2=14.0951-3.309^2=3.145619$

que es la respuesta a)

Saludos,

Segun lo que entendi es esto:

sumatorio de valores de la muestra al cuadrado
[97*(3.3)² +(3.5)² + (3.6)² +(3.7)²]/100 = 10.9523

Media de valores de la muestra
[97*(3.3) +(3.5) + (3.6) +(3.7)]/100 = 3.309


Entonces con la formula de la varianza obtengo:

Varianza= (valores de la muestra al cuadrado) - (la media al cuadrado)
Varianza= (10.9523) - (3.309)² = 0.002819

Este resultado no me cuadra, no se en que he fallado. Yo diria que no se puede elevar al cuadrado el 3.3 para obtener el sumatorio de valores al cuadrado, aunque no estoy seguro.


Por otro lado habia pensado que se podria hacer sumando las varianzas individuales de cada muestra de la siguiente manera.

[3.24*97 +0.0066666*3]/97+3 = 3.143

Siendo 3.24 la varianza de la primera muestra y 0,0066666 la varianza de la segunda muestra. En este caso me da un resultado mas parecido a las posibles soluciones pero no exacto.

[Pumukix]

Re: Suma de varianza de dos muestras con numero de elementos diferentes

Gracias ya lo entendi.