2o ciclo Aproximacion de Stirling

[rruisan]

Buenas noches mi duda es saber para que me sirve la aprox de stirling cuando se usa y como se usan, tambien les queria pedir favor si me pueden dar ejemplo para aprender a usarlo. Muchas gracias de antemano!

[Stormkalt]

Re: Aproximacion de Stirling

Hola rruisan:

La utilidad de la aproximación de Stirling es para manejar grandes números como son los factoriales.

Como recordarás, los logaritmos son útiles (entre muchas otras cosas) para transformar las progresiones geométricas en aritméticas (transforman, en definitiva, productos en sumas). De modo que la aproximación de Stirling hace uso del logaritmo de un factorial

$<br /> ln(n!)\approx nln(n)-n<br />$

De esa manera, se tiene una aproximación para calcular el factorial de n cuando n tiende a valores grandes.
Se usa siempre que aparezcan factoriales grandes, como en la mecánica estadística donde se suelen encontrar factoriales de un número enorme de partículas.
Esta aproximación no es válida para valores pequeños de n.

¡Saludos!

[rruisan]

Re: Aproximacion de Stirling

Agradeceria mucho si me pudieran dar algunos ejemplos por favor.

[Stormkalt]

Re: Aproximacion de Stirling

Hola:

Uno de los ejemplos más conocidos de la aplicación de la aproximación de Stirling es en la deducción de la distribución de Maxwell-Boltzman para partículas distinguibles.
La probabilidad (denominada microestados distinguibles) viene dada por

$P = \frac{{N!}}<br /> {{\prod\limits_i {n_i !} }}<br />$

Para maximizar un macroestado más probable se aplica logaritmo natural a ambos miembros:

$\ln P = \ln \left( {\frac{{N!}}<br /> {{\prod\limits_i {n_i !} }}} \right) = \ln N! - \sum\limits_i {\ln n_i !} <br />$

Y es aquí donde se aplica la aproximación de Stirling, pues los factoriales que hay en esta fórmula anterior arrojan resultados enormes:

$\ln P = N\ln N - N - \sum\limits_i {n_i \ln n_i + \sum\limits_i {n_i } }$

$\ln P = N\ln N - \sum\limits_i {n_i \ln n_i } <br />$

¡Saludos!

[rruisan]

Re: Aproximacion de Stirling

no entendi mucho en donde estas utilizando la aprox. agradeceria mucho si me lo explicas con mayor detalle por favor!

[Metaleer]

Re: Aproximacion de Stirling

La fórmula de Stirling $\displaystyle n! \approx \sqrt{2 \pi n} \; \left(\frac{n}{e}\right)^{n}, n \rightarrow \infty$ también es útil para el cálculo de ciertos límites, por ejemplo:

$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{(n!)^{1/n}} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{(\sqrt{2 \pi n} \; \left(\frac{n}{e}\right)^{n})^{1/n}} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{(\sqrt{2 \pi n})^{1/n} \frac{n}{e}} = e \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{(\sqrt{2 \pi n})^{1/n}} = e \lim_{n \rightarrow \infty} \left (\frac{1}{\sqrt{2 \pi n}} \right )^{1/n} = e \cdot 1 = e,$

ya que $\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} \left (\frac{1}{\sqrt{2 \pi n}} \right )^{1/n} = 1$ como puedes comprobar, tomando logaritmos y aplicando L'Hopital (aunque no sea una función derivable, sino una sucesión, pero bueno, no importa porque si se cumple para una función real de variable real, también será cierto para una función real de variable natural, o lo que es lo mismo, sucesión).

Otro ejemplo podría ser

$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(n!)^2 2^{2n}}{(2n)! \sqrt{n}}.$

Para obtener la aproximación de Stirling correspondiente para el $(2n)!$, sólo tenemos que sustituir $2n$ en vez de $n$ en la fórmula original:

$\displaystyle (2n)! \underbrace{\rightarrow}_{n \rightarrow \infty} \sqrt{4 \pi n} \left (\frac{2n}{e} \right )^{2n}.$

Así

$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(n!)^2 2^{2n}}{(2n)! \sqrt{n}} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\left (\sqrt{2 \pi n} \; \left(\frac{n}{e}\right)^{n}\right )^2 2^{2n}}{\sqrt{4 \pi n} \left (\frac{2n}{e} \right )^{2n} \sqrt{n}} = \frac{2 \pi}{\sqrt{4 \pi}} \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n \left ( \frac{n}{e} \right )^{2n} 2^{2n}}{\sqrt{n} \left ( \frac{2n}{e} \right )^{2n} \sqrt{n}} = \sqrt{\pi} \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n \left ( \frac{2n}{e} \right )^{2n}}{n \left ( \frac{2n}{e} \right )^{2n}} = \sqrt{\pi}.$

Saludos.

[Stormkalt]

Re: Aproximacion de Stirling

Hola:

$\ln P = \ln \left( {\frac{{N!}}<br /> {{\prod\limits_i {n_i !} }}} \right) = \ln N! - \sum\limits_i {\ln n_i !} <br />$

Fijate que teniendo la fórmula mencionada, aplicamos previamente propiedades de los logaritmos.

Logaritmo de un cociente es la resta de los logaritmos. Logaritmo de una productoria es la sumatoria de los logaritmos.

Luego, donde aparece logaritmo del fatorial de un número (en dos lugares) aplicamos la aproximación de Stirling

$\ln P = N\ln N - N - \sum\limits_i {n_i \ln n_i + \sum\limits_i {n_i } }$

$\ln P = N\ln N - \sum\limits_i {n_i \ln n_i } <br />$

¡Saludos!

[rruisan]

Re: Aproximacion de Stirling

al ultimo no se como reduciste los terminos cuando utilizas la aprox. Gracias!

[Stormkalt]

Re: Aproximacion de Stirling

Porque por definición, la sumatoria de todos los estados se puede equiparar con el número total de partículas.
$N = \sum\limits_i {n_i }$

De modo que podemos cancelar mutuamente esos dos términos.

[leotardo de bici]

Re: Aproximacion de Stirling

hola reabro este hilo antiguo porque hay dos aproximaciones de stirling,
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[/FONT][FONT=Verdana] esta es la facilona, hasta yo la deduje una noche de inspiracion. y la explican en todos lados,

pero hay otra version larga:
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[FONT=Verdana][/FONT]

que no alcazo a entender de donde sale lo del parentesis, ¿y una pi?, ¿que tendra que ver la rueda con esto?.

mi interes es que parece que es la que sale en la curva normal.

le di la vuelta a internet y no encuentro nada. ¿ alguna direcion sobre la deducion de la aproximacion de stirling ?, ¿o alguna pista del pi ?, no hace falta leciones magistrales.