2o ciclo Spinores

[Nissan]

Sin duda, el tema de los spinores es un tema importante, y delicado, en fisica, que esta intimamente ligado al de las representaciones del grupo de Lorentz. Para alguien que se inicia en la materia puede ser un poco complicado entender el asunto, por la diversidad de tratamientos que existen, de muy poco rigurosos matematicamente hablando (Peskin por ejemplo) a excesivamente formales para un fisico (Lawson). Pretendo pues, hacer un brevisimo resumen del asunto, por si alguien lo encontrara util.

La importancia de una representación viene dada por el hecho de que en general, los diversos objetos que se dan en física se transforman bajo diferentes representaciones del grupo de Lorentz (o en general, una representacion del grupo que actue sobre ellos). La manera en la que se transforman dichos objetos puede permitir incluso clasficarlos de manera unica. Un ejemplo muy claro lo podemos encontrar en la clasificacion de las particulas elementales que se hace a partir de las representaciones inducidas por el Little Group correspondiente (y usando los Casimires correspondientes).

Los espinores son objetos muy utilizados en Física, por ejemplo en QFT. Pues bien, se podría decir que los espinores se definen a partir del grupo de Lorentz, o mejor dicho, a partir de su transformación bajo el grupo de Lorentz.

El grupo de Lorentz admite básicamente dos tipos de representaciones; representaciones tensoriales, y representaciones espinoriales. Las representaciones tensoriales se pueden formar siempre a partir de productos tensoriales de representaciones vectoriales (en el sentido extenso de covariantes o contravariantes). Una representación vectorial es relativamente simple y no es el objeto de este escrito, asi que no las trataremos mas.

Sin embargo, las representaciones espinoriales no pueden obtenerse a partir de representaciones vectoriales. Para su construcción, se utiliza otro tipo de estructura matemática llamada Álgebra de Clifford.
Voy a adoptar un punto de vista general, permitiendo un espaciotiempo de dimensión arbitraria $d$ (mayor o igual que 3), ya que los casos en los que $d$ es distinto de 4 tiene mucha importancia en teoría de cuerdas, sugra, susy, etc.

Dado un espacio vectorial $V$y una forma cuadr\'atica $q$ definida en él, existe una álgebra de Clifford $Cl(V,q)$ asociada generada por elementos $\Gamma_a$ que cumplen:

$\Gamma_a\Gamma_b + \Gamma_b\Gamma_a = 2\eta_{ab} Id$

Donde $\eta_{ab}$ es el 2 - tensor asociado a la forma cuadratica $q$.

Dado el espacio cuadrático $(V,q)$, podemos considerar el grupo otrogonal $O(V)$, subgrupo de $GL(V)$ que preserva $q$, así como el subgrupo $SO(V)$ de $O(V)$. Si $V$ es un espacio vectorial sobre los complejos y $dim(V)\ge 3$, entonces SO(V) no es simplemente conexo, y se denota por $Spin(V)$ su recubrimiento universal. Al ser $Z_2$ el grupo fundamental de $SO(V)$, sumado a las condiciones anteriores, se deduce que $Spin(V)$ es un recubrimiento doble de $SO(V)$.

Las matrices $\Gamma_a$ pueden usarse para construir una representacion (denominada espinorial) del algebra de Lorentz $so(1,d-1)$ cuando la forma cuadratica viene dada por la metrica de Lorentz:

$\Gamma_s(M_{ab})=\frac{1}{2}\Gamma_{ab}=\Gamma_{[a}\Gamma_{b]}$


De hecho no solo el algebra, sino el propio grupo $Spin(V)$ esta contenido en el algebra de Clifford. De manera mas rigurosa:

Considerese el automorfismo canonico definido sobre los generadores como $\Gamma_a\rightarrow -\Gamma_a$, bajo cuya accion el algebra de Clifford se descompone en dos subalgebras:

$Cl(V,q)=Cl(V,q)^{par}\oplus Cl(V,q)^{impar}$


Donde $Cl(V,q)^{par}$ (resp. $Cl(V,q)^{impar}$) consiste en todas las combinaciones de productos con un numero par (resp. impar) de matrices $\Gamma$.

El algebra de Clifford contiene numerosos subgrupos interesantes. Para empezar tenemos el subgrupo $Cl(V,q)^x$ de las unidades, que consiste en todos los elementos de $Cl(V,q)$ que son invertibles, y que por tanto contiene a cualquier otro grupo en $Cl(V,q)$.
Uno de estos grupos es el grupo $Pin(V,q)$ definido como el subgrupo de $Cl(V,q)^x$, generado por productos de elementos $v_i\in V$ que cumplen $q(v_i)=\pm 1$. $Spin(V,q)$ es el subgrupo de $Pin(V,q)$ que se define como $Spin(V,q)=Pin(V,q)\cap Cl(V,q)^{par}$.

Recapitulando, dada una representacion de $Cl(V,q)$ obtenemos una representacion de $Pin(V,q)$ y en consecuencia una representacion de $Spin(V,q)$; i.e., una representacion del recubrimiento universal de $SO(V)$, que para el caso que nos interesa viene dado por $SO(V)=SO(1,d-1)$. Hemos obtenido pues, una representacion (de dimension $2^{[d/2]}2^{[d/2]}$) del recubridor universal del grupo de Lorentz, que actua sobre un espacio vectorial $V 2^{[d/2]}$ dimensional cuyos elementos $\psi$ son los llamados espinores.

No obstante, puede ocurrir que partiendo de una representacion irreducible de $Cl(V,q)$ obtengamos una representacion de $Spin(V,q)$ reducible (aunque si la representacion del algebra de Clifford es irreducible como representacion de $Cl(V,q)^{par}$ tambien lo sera de $Spin(V,q)$). Esto ocurre cuando la dimension $d$ del espaciotiempo es par.

Los spinores, pues,elementos de $V$, se transforman bajo representaciones espinoriales del grupo de Lorentz:

$\psi^{'\alpha}=(\Gamma_s)^{\alpha}_{\beta}\psi^{\beta}$

Toda representacion del grupo de Lorentz, (o de su recubridor), es tambien una representacion del grupo de rotaciones (pues es un subgrupo del grupo de Lorentz) de dimensión $2j+1$. Si un campo se transforma en una representación del grupo de Lorentz que contiene una representación del grupo de rotaciones de dimension $2j+1$, entonces se dice que dicho campo y la particula a el asociada tienen spin $j$.

Para finalizar, podemos poner como ejemplo el caso $d=4$, en el cual el recubridor del grupo de Lorentz, el grupo de Spin, es $Sl(2,C)$. Actua sobre un espacio complejo de dimension 2, ya que al ser la dimension del espaciotiempo par, la representacion que "produce" el algebra de Clifford es reducible en la suma directa de dos representaciones irreducibles del grupo de Lorentz, que actuan sobre espacios de espinores de dimension dos (complejas).

[Entro]

Re: Spinores

Esto iría mejor en un blog, para que quedara constancia de esta discusión...

Además una discusión más pedestre sería genial para complementarla con esta discusión técnica, así todos podrán saborear el significado de espinor.

Me parece que al final la web de física tendrá asociada una cantidad de blogs con información útil y muy interesante sobre diversos temas de física. (Por supuesto también de cosas mundanas y opiniones personales). Lo de los blogs se han de convertir en un sitio de referencia de la física escrita en castellano...

[Nissan]

Re: Spinores

Hola Entro. No me habia dado cuenta de que podemos disponer de un foro para escribir, en cuanto pueda lo paso. Tambien tenia pensado extender la discusion para ver los tipos de espinores en diferentes dimensiones, asi que aprovechare para hacer un resumen menos tecnico, que es lo que de verdad se necesita al fin y al cabo.

[Nissan]

Re: Spinores

Voy a seguir con la exposicion, añadiendo un par de notas rapidas. Como ya dije, en cuanto tenga tiempo lo paso un blog, de momento si no hay inconveniente se queda aqui.

Habiamos dicho que los espinores eran los elementos de $V$, sobre los que actua la representacion espinorial del grupo de Lorentz, que se obtiene a partir de la representacion del algebra de Clifford asociada. En el algebra de Cliford tenemos tanto la representacion del grupo de Spin como la del algebra, asi que en principio lo mas facil es trabajar con la representacion del algebra de Lorentz contenida en el algebra de Clifford y despues exponenciar:

$\Gamma_S(M_{ab})=\frac{1}{2}\Gamma_{ab}$

$\Gamma_S(\Lambda)=e^{\frac{1}{2}\Gamma_S(M_{ab})}$

De esta forma obtenemos la representacion de la componente conexa del grupo de Lorentz, pero esta es precisamente la que queremos; i.e., queremos la parte del grupo de Lorentz que en la representacion vectorial que deja invariante la metrica de Lorentz tiene determinante 1 y respeta la "direccion" del tiempo.

Una nota en passant es necesaria: la exponenciacion del algebra de Lie de un grupo de Lie nos proporciona los elementos del grupo de Lie en un entorno conexo de la identidad. Pero, ¿y que pasa con el recubridor?, pues se tiene que la complexificacion del algebra de Lie nos proporciona los elementos del recubridor del grupo de Lie; (de nuevo, en un entorno de la identidad).

Las representaciones irreducibles del algebra de Clifford son unicas (para cada dimension). Esto quiere decir que cuando en los libros de Fisica se nombra la representacion de Weyl, de Dirac etc en realidad se esta cometiendo un abuso de terminologia (o muchas veces un error) ya que en realidad son transformaciones equivalencia (de la forma $S^{-1}\Gamma S$) de la representacion irreducible unica, que logicamente esta definida salvo cambios de base.

De hecho, es en la base de Weyl, en la que $\gamma_5$ ($\Gamma$ se utiliza para dimension arbitraria, $\gamma$ para dimension 4 y $\rho$ para dimension 2) adopta la forma diagonal con 1's y -1's y es donde es licito considerar espinores de Weyl de dos dimensiones, ya que las otras dos son 0 (cosa que no ocurrira en una base arbitraria).
No obstante, aunque no utilicemos la base de Weyl, podemos seguir utilizando espinores de Weyl, definidos como los autovectores de $\Gamma_{d+1}$ ($d$ par), que en general (al considerar una base que no es la de Weyl) no sera diagonal.

Pero me estoy adelantando al hablar de espinores de Weyl, eso lo vamos a dejar para el proximo capitulo en el que hablemos de los tipos de espinores en diversas dimensiones.