Un problema de circulación de campo vectorial

[idontknow]

Re: Un problema de circulación de campo vectorial

Hola

Pues sí es verdad, me equivoqué de palabra y sí, es el 41.

El problema que tengo yo es que no sé dibujar figuras. ¿Qué idea utilizas a la hora de dibujar una figura?

Por otra parte sigo sin ver lo de los puntos de corte (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1). Debe ser por no tener el dibujo pero de todas maneras, matemáticamente habrá una forma ¿no?

En fin, mañana rodarán cabezas

[arreldepi]

Re: Un problema de circulación de campo vectorial

Hola, supongo que te has equivocado copiando, el problema pide la circulación no la intersección
Además una vez dice lo de los planos de coordenadas dice que se tome $x,y,z\geq 0$, es decir que sólo tendríamos que coger la parte que queda en la región positiva de los planos xy, yz, y xz (suponiendo que estás diciendo el mismo problema que yo xDD, el 41, no?).

Para este va bien hacerse un dibujo, lo que te queda es que corta los tres ejes en los puntos A(1,0,0), B(0,1,0) y C(0,0,1). Y la línea que lleva A a B es $x^2+y^2=1$, la que lleva B a C $y^2+z^2=1$ y la que nos lleva de C a A cerrando la línea es $x^2+z^2 = 1$.

Este yo lo he calculado dividiéndolo en 3 trozos, pero bueno, eso como te vaya mejor xD, yo he hehco

$$I=\oint_\gamma \vec a\cdot\dd\vec r=\int_{AB} + \int_{BC} + \int_{CA}= I_x + I_y + I_z$$

.


Entonces,

$\text A \;\to\;\text B\quad\Rightarrow\quad z = 0\quad\Rightarrow \vec a_{a\to b} = 2x\hat\imath + 2y\hat\jmath$

La integral queda así

$$\int_{AB} 2x\dd x + 2y\dd y$$

Puedes pasarlo a paramétricas $x=\cos t;\;\; y = \sin t;\qquad 0\leq t\leq \pi/2$.

Y si calculas dx, dy y sustituyes verás que da 0.


De B a C tienes que sólo contribuye la componente y del campo, así que

$$I_{BC}\int_{BC} (2y-z)\dd y$$

Puedes hacer el cambio $y=t; z = 1-t^2$, y si miras las ecuaciones del principio y el sentido en el que estamos recorriendo la línea verás que los límites de integración irán de $t=1$ a $t=0$

así que, calculando dt, te queda:

$$\int_0^1 (2t-1+t^2)\dd t = -\frac 13$$

.

Y de C a A la integral a resolver es

$$I_z = \int_{CA}(2x+z)\dd x$$

ya que como y = 0, dy = 0,

aquí hice el cambio $x=\cos t;\; z = 1-\cos^2 t$

y los límites de integración van de $t=\pi / 2$ a $t=0$, si miras los dibujos y las ecuaciones se ve mejor xD.

Así que se tiene que resolver la integral

$$\int_{\pi/2}^0 (2\cos t +1 -\cos^2 t)(-\sin t)\dd t = \frac 53$$

Así que

$$\boxed{I=\frac 43}$$

Con lo cual, no es conservativo.

No sé, no creo que sea ni mucho menos la mejor forma de resolverlo, pero en su momento no se me ocurrió otra xD, a ver si alguien se lo mira y nos echa un cable xD.

Espero que mañana no se pasen mucho xDD.

Saludos y suerte!

[idontknow]

Hola!

Estoy haciendo problemas de circulación de campos vectoriales pero he topado con uno que se me ha atragantado. El problema dice así:

Calcular la intersección del campo vectorial $\vec a = (2x + z)\vec i + (2y-z)\vec j + xyz\vec k$ a lo largo de la línea cerrada intersección del paraboloide de revolución $x^2+y^2=1-z$ con los planos de coordenadas. ¿Es el campo conservativo?

Mi problema principal es que no recuerdo cómo sacar los planos de coordenadas. Porque una vez sabido los 3 planos, ¿Tan sólo sería un sistema de 4 ecuaciones para después parametrizar esa línea no? ¿Pero habrían varias soluciones no? Lo digo porque me imagino la figura cortada en 8 octetos y gracias a eso podría coger diversos caminos para comprobar si es conservativo ¿no?