Un problema de circulación de campo vectorial

[Metaleer]

Re: Un problema de circulación de campo vectorial

Anda, pues eso no nos lo habían dicho, es decir, que si la función no es continua en el recinto, este resultado no es válido? Pero, por ejemplo, el campo gravitatorio no es continuo en $\vec 0$ y sí que es conservativo, no?

Entonces, para saber si un campo es conservativo o no, bastaría con ver que el rotacional es 0 y que, al menos, una de las circulaciones es nula? O sería imposible saberlo?

El campo gravitatorio, caso de que hables una masa puntual, sólo presenta una singularidad en el origen, donde la propia masa está situada. Más abajo explico el concepto de simplemente conexo, y según eso, al quedar sólo un punto fuera del dominio de definición de $\mathbf{g}$, no pasa nada. No obstante, calcula el campo gravitatorio creado por una distribución rectilínea, infinita y uniforme de masa; sorpresa sorpresa, la propia recta sobre la que se distribuye la masa queda fuera del dominio de definición de $\mathbf{g}$, pero no pasa nada, por dos motivos: sigue existiendo una función potencial escalar (lo que pasa es que ya no puedes asignar el de potenciales en el infinito), y mira, eso de distribución infinita no existe en la vida real...

Pero si esto es cierto, ¿Por qué en este ejercicio http://forum.lawebdefisica.com/threa...rema-de-Stokes aún siendo la integral de línea igual a 0 no es conservativo (Digo esto porque lo pone en la solución del ejercicio)? Vale que se afirma que el rotacional es diferente a 0 y que lo hacemos en una región simple connexa y por tanto no es conservativo pero en tu última frase dices que:
y en este caso esa integral de línea es 0. Entonces, ¿Cual prevalece?

Vamos a ver, el hecho de que la integral de línea sea nula para TODO camino cerrado es la definición de campo conservativo. En otras palabras, es condición necesaria y suficiente.

La condición de $\vec\nabla\times \vec F =0$ es necesaria, y como en ese caso es diferente de cero, no se cumple. Si he entendido bien a Metaleer creo que lo que dice es que si la región es simplemente conexa entonces, basta con que el rotacional se anule, si no, lo del rotacional nulo sólo indica que puede ser conservativo.

La definición de simplemente conexa cuál es? Es que yo en mis apuntes tengo: región sin agujeros xD.

Totalmente correcto.

Simplemente conexo significa que cualquier curva de Jordan (simple y cerrada) contenida dentro del dominio se puede encoger hasta reducirlo a un punto sin que ésta se salga nunca del dominio. En el plano, eso se traduce en que no pueden haber agujeros. En el espacio, sí pueden haber agujeros, pero rectas enteras sin incluir, no. Por ejemplo, si la recta $OZ$ queda fuera de un dominio, ese dominio ya no es simplemente conexo. Pero si sólo quedan fuera algunos puntos, no pasa nada, el dominio sigue siendo simplemente conexo.

xd pues es esa. Según mis apuntes un dominio sin agujeros. O sea yo tengo una figura plana tipo región de dominio R2 de integración y ha de ser toda 1, sin huecos por el medio aunque puede ser multiplemente convexa para la que tengo dibujada una figura plana con 2 agujeros lo que pasa que es como si la partiera entre 2. No sé si te la habrán dibujado a ti



Hombre es que dicho como lo decía parecía que también fuera condición necesaria que la integral de línea fuese 0 ¿no?

No, es condición necesaria y suficiente, pero ojo, que es para todo camino cerrado. Es la definición (una de otras tres equivalentes) de campo conservativo.

Lo que yo entiendo es:

1. Región simplemente conexa:

$$\text{Campo conservativo} \Leftrightarrow \vec\nabla\times \vec F = 0$$

2. Región cuyo dominio no sea simplemente conexo:

$$\text{Campo conservativo} \Leftrightarrow \oint_\gamma \vec F\cdot\dd\vec r =0\qquad\forall\gamma$$

lo cual implica que $\vec\nabla\times\vec F = 0$ (pero no hay doble implicación).

Y bueno, lo que no sé es si basta con que una sea nula una vez has visto que el rotacional es nulo, o es imposible saber si un campo es conservativo en el caso que su domino no sea simplemente conexo.


Saludos!


PD: Si pudiesemos hacer $\vec F = \vec\nabla U$, podríamos decir que lo es aunque el dominio no fuese simplemente conexo?

Totalmente correctas las conclusiones que has sacado, y sí, en vez de

$$\text{Campo conservativo} \Leftrightarrow \oint_\gamma \vec F\cdot\dd\vec r =0\qquad\forall\gamma$$

también puedes decir que la integral de línea no depende del camino, o que existe una función potencial escalar tal que $\vec F = \vec\nabla U$; las tres condiciones estas son equivalentes, y valen, tanto el dominio sea simplemente conexo o no, pues son las definiciones de campo vectorial conservativo. Si el dominio es simplemente conexo, desde un punto de vista operacional resulta más cómodo lo del rotacional.

Saludos.

[arreldepi]

Re: Un problema de circulación de campo vectorial

Hombre es que dicho como lo decía parecía que también fuera condición necesaria que la integral de línea fuese 0 ¿no?

Lo que yo entiendo es:

1. Región simplemente conexa:

$$\text{Campo conservativo} \Leftrightarrow \vec\nabla\times \vec F = 0$$

2. Región cuyo dominio no sea simplemente conexo:

$$\text{Campo conservativo} \Leftrightarrow \oint_\gamma \vec F\cdot\dd\vec r =0\qquad\forall\gamma$$

lo cual implica que $\vec\nabla\times\vec F = 0$ (pero no hay doble implicación).

Y bueno, lo que no sé es si basta con que una sea nula una vez has visto que el rotacional es nulo, o es imposible saber si un campo es conservativo en el caso que su domino no sea simplemente conexo.


Saludos!


PD: Si pudiesemos hacer $\vec F = \vec\nabla U$, podríamos decir que lo es aunque el dominio no fuese simplemente conexo?

[arreldepi]

Re: Un problema de circulación de campo vectorial

Es que no sé cómo llamarles xD, son cuartos de circunferencia , los obtienes haciendo x=0, y=0, z=0 respectivamente. Lo de parametrizar lo hago porque son integrales de línea y dependen del camino, no? No sabía que podía resolverlo así, pero tomo nota para ahorrarme faena

Gracias Al!

[idontknow]

Re: Un problema de circulación de campo vectorial

a definición de simplemente conexa cuál es? Es que yo en mis apuntes tengo: región sin agujeros xD.

xd pues es esa. Según mis apuntes un dominio sin agujeros. O sea yo tengo una figura plana tipo región de dominio R2 de integración y ha de ser toda 1, sin huecos por el medio aunque puede ser multiplemente convexa para la que tengo dibujada una figura plana con 2 agujeros lo que pasa que es como si la partiera entre 2. No sé si te la habrán dibujado a ti

basta con que el rotacional se anule, si no, lo del rotacional nulo sólo indica que puede ser conservativo.

Hombre es que dicho como lo decía parecía que también fuera condición necesaria que la integral de línea fuese 0 ¿no?

[Al2000]

Re: Un problema de circulación de campo vectorial

...
Para este va bien hacerse un dibujo, lo que te queda es que corta los tres ejes en los puntos A(1,0,0), B(0,1,0) y C(0,0,1). Y la línea que lleva A a B es $x^2+y^2=1$, la que lleva B a C $y^2+z^2=1$ y la que nos lleva de C a A cerrando la línea es $x^2+z^2 = 1$.
...

Amigo, aclárame un par de dudas, si no tienes inconveniente. En la cita de arriba la trayectoria BC y la trayectoria CA están erradas, ¿verdad? ¿Un error de tipeo? Porque en tu siguiente mensaje dicen que son parábolas, por eso asumo que solo es un error de tipeo.

Bueno, mi pregunta en realidad es ¿por qué parametrizas? Es decir, ¿por qué te tomas la molestia de parametrizar si puedes integrar directamente sin mayor problema?:

$$I_{AB}=\int_{AB}(2 x dx + 2 y dy) = \int _1^0 2 x dx + \int _0^1 2 y dy = 0$$

$$I_{BC}= \int _{BC}(2y-z) dy = \int _1^0(2y-1+y^2) dy = - \frac 1 3$$

$$I_{CA}= \int _{CA}(2x+z) dx = \int _0^1(2x+1-x^2) dx = \frac 5 3$$

¿Será simplemente la fuerza de la costumbre?

Saludos,

Al

[arreldepi]

Re: Un problema de circulación de campo vectorial

La condición de $\vec\nabla\times \vec F =0$ es necesaria, y como en ese caso es diferente de cero, no se cumple. Si he entendido bien a Metaleer creo que lo que dice es que si la región es simplemente conexa entonces, basta con que el rotacional se anule, si no, lo del rotacional nulo sólo indica que puede ser conservativo.

La definición de simplemente conexa cuál es? Es que yo en mis apuntes tengo: región sin agujeros xD.

[idontknow]

Re: Un problema de circulación de campo vectorial

El típico contraejemplo académico:

Esto es una de las cagadas que más se ve en la bibliografía, ya son varios libros donde he visto que usan el hecho mágico de que $F~\text{conservativo} \Leftrightarrow \nabla \times F = 0,$ y, combinándolo con el Teorema de Kelvin-Stokes, llegan a la conclusión de que $\displaystyle \oint_\mathcal{C} F \cdot dr = 0$ para campos conservativos, donde realmente la definición de campo conservativo es que $\displaystyle \oint_\mathcal{C} F \cdot dr = 0$, y no al revés.

Pero si esto es cierto, ¿Por qué en este ejercicio http://forum.lawebdefisica.com/threa...rema-de-Stokes aún siendo la integral de línea igual a 0 no es conservativo (Digo esto porque lo pone en la solución del ejercicio)? Vale que se afirma que el rotacional es diferente a 0 y que lo hacemos en una región simple connexa y por tanto no es conservativo pero en tu última frase dices que:

donde realmente la definición de campo conservativo es que $\displaystyle \oint_\mathcal{C} F \cdot dr = 0<br />$

y en este caso esa integral de línea es 0. Entonces, ¿Cual prevalece?

[arreldepi]

Re: Un problema de circulación de campo vectorial

Anda, pues eso no nos lo habían dicho, es decir, que si la función no es continua en el recinto, este resultado no es válido? Pero, por ejemplo, el campo gravitatorio no es continuo en $\vec 0$ y sí que es conservativo, no?

Entonces, para saber si un campo es conservativo o no, bastaría con ver que el rotacional es 0 y que, al menos, una de las circulaciones es nula? O sería imposible saberlo?

[Metaleer]

Re: Un problema de circulación de campo vectorial

El típico contraejemplo académico:

$\displaystyle F(x, y, z) = \left(\frac{-y}{x^2+y^2}, \frac{x}{x^2+y^2}, 0 \right).$

Os invito a que comprobéis que el rotacional es , pero si calculáis la integral de línea a lo largo de una circunferencia de radio unidad, centrada en el origen del plano XY, veréis que da $2 \pi \neq 0$, luego difícilmente se trata de un campo vectorial conservativo. El problema es que uno no se fija en el dominio de definición del campo vectorial, que debe ser simplemente conexo para tener la doble implicación

$F~\text{conservativo} \Leftrightarrow \nabla \times F = 0,$

pero es que en general es

$F~\text{conservativo} \Rightarrow \nabla \times F = 0.$

Esto es una de las cagadas que más se ve en la bibliografía, ya son varios libros donde he visto que usan el hecho mágico de que $F~\text{conservativo} \Leftrightarrow \nabla \times F = 0,$ y, combinándolo con el Teorema de Kelvin-Stokes, llegan a la conclusión de que $\displaystyle \oint_\mathcal{C} F \cdot dr = 0$ para campos conservativos, donde realmente la definición de campo conservativo es que $\displaystyle \oint_\mathcal{C} F \cdot dr = 0$, y no al revés.

Saludos.

[idontknow]

Re: Un problema de circulación de campo vectorial

Es al revés, si el rotacional es 0 el campo es conservativo.

Ups! Debo de tener dislexia
Cierto, cierto.

Creo que los campos que nos dan a nosotros siempre cumplen esta condición, a ver si Metaleer nos puede dar un ejemplo donde no se cumpla

Pues me parece a mí que también. En las actividades siempre te has de fijar que el rotacional sea 0. A ver si nos sorprende el maestro

[arreldepi]

Re: Un problema de circulación de campo vectorial

Pensaba que simplemente por tener un rotacional diferente a 0 el campo ya era conservativo. Entonces, ¿Cuales son todas las posibles condiciones?

Es al revés, si el rotacional es 0 el campo es conservativo. Creo que los campos que nos dan a nosotros siempre cumplen esta condición, a ver si Metaleer nos puede dar un ejemplo donde no se cumpla

Saludos!

[idontknow]

Re: Un problema de circulación de campo vectorial

Pensaba que simplemente por tener un rotacional diferente a 0 el campo ya era conservativo. Entonces, ¿Cuales son todas las posibles condiciones?

[Metaleer]

Re: Un problema de circulación de campo vectorial

Una condición necesaria pero no suficiente para tener un campo vectorial conservativo es que su rotacional sea nulo. Si además el dominio de definición del campo vectorial es simplemente conexo, esta condición se convierte en necesaria y suficiente. En este caso, tenemos funciones que cumplen este requisito, así que a ver el rotacional:

Sea $\displaystyle F(x, y, z) = (\overbrace{2x + z}^P, \overbrace{2y-z}^Q, \overbrace{xyz}^R)$, entonces el rotacional es

$\displaystyle \text{rot} ~ F = \nabla \times F = \left(\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}, \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}, \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) = (xz - 1, 1 - yz, 0) \neq (0, 0, 0),$

y por tanto el campo vectorial no es conservativo.

Saludos.

[idontknow]

Re: Un problema de circulación de campo vectorial

Ahhh! ahora lo he pillado xd

Vale gracias por el esquema mental. Ahora mismo me lo aprendo

Yo es que iba viendo dibujitos gracias a wolframalpha http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+ pero estas cosas en un examen no sirven... por desgracia...

[arreldepi]

Re: Un problema de circulación de campo vectorial

Jaja, esperemos que no rueden mucho xDD.

El dibujo es un paraboloide, los puntos de corte los puedes hacer haciendo x=y=0 para ver dónde corta en el eje x, x=z=0 para ver dónde corta en el eje y y z=y=0 para ver donde corta en el eje x. Si no te dijese que corta con los planos pues tendrías que resolver el sistema. Es decir, que lo que te queda es como si a una campana le pusieses los tres ejes en su centro (aprox), y luego cogieses de ella sólo la parte positiva de los ejes. Te quedaría como una especie de "octavo" de pelota, no? xD, pues eso es lo que queda en este caso. Es que no sé como dibujarlo con el ordenador, si no lo ves te escaneo el dibujo.

Entonces, del punto (1,0,0) al (0,0,1) vamos siguiendo una parábola y lo mismo con los otros puntos, que son las primeras ecuaciones que te he escrito antes (fíjate que es hacer x=0, z=0, y=0 en la ecuación del paraboloide).


Y bueno, hay figuras que más o menos sé cómo son según la ecuación, así que si es mu rara... xD ni en broma sé dibujarla, lo cual te limita mucho el problema, la verdad.

$x^2 + y^2 = 1$ sería en 2D una circunferencia, por lo tanto, en 3D como añades el eje z, tendrías un cilindro de radio 1.
$x^2+y^2 = z$ es un parabolide (""campana"") con origen en el (0,0,0) y hacia arriba.
$x^2+y^2 = a-z$ sería lo mismo, pero con origen en (0,0,a) y hacia abajo.
$\alpha x+\beta y+\gamma z = \mu$ es un plano.

Saludos!