Otras carreras Vector normal del plano

[Zhisi]

La respuesta es esta

Un vector normal es cualquier múltiplo del vector
(0, 0, 1) ya que el plano dado tiene por ecuación cartesiana
z = 2

No entiendo como llegar a (0,0,1). Antes del ejercicio hay 6 hojas de materia sobre vectores rectas y planos pero no veo nada que explique esto.

Un saludo y gracias.

[GNzcuber]

Re: Vector normal del plano

Hola zhisi,

Como ya que tu nivel dice secundaria lo resolveré como yo lo hacía:

En primer lugar debemos notar que tenemos la ecuación paramétrica

$$\dst \left\{\begin{aligned}x=1+2\lambda\\ y=-3\mu\\ z=2\end{aligned}\right.$$

La podemos poner vectorialmente muy sencillamente:

$$\dst (x,y,z)=(1+2\lambda,-3\mu,2)=(1,0,2)+\lambda(2,0,0)+\mu(0,-3,0)$$

[inciso]Aquí salta a la vista la respuesta ya que tenemos dos vectores libres que son base del plano y son canónicos ( (1,0,0) y (0,1,0) ), por lo tanto en $\dst \mathbb{R}^3$ un vector ortogonal a éstos es el (0,0,1)[/inciso]

La ecuación vectorial la puedo escribir de la siguiente manera, más conceptual:

$$\dst (x-1,y,z-2)=\lambda(1,0,0)+\mu(0,1,0)$$

.
Una aclaración, lo que importa de los vectores libres es su dirección, ya que a partir de ella se pueden formar infinitos vectores con la misma dirección. En nuestro caso me da igual poner (0,1,0) que (0,-3,0), además tenemos un parámetro multiplicando y si tengo ganas de decir que $\dst \lambda'=-3\lambda$ y a ese lambda prima volver a llamarlo lambda da igual, ya que no necesitaremos calcular este parámetro.

El significado de la ecuación es que el vector de la izquierda es combinación lineal de los de la derecha, así como (1,2) = (1,1) + (0,1). Ésto lo voy a utilizar porque si es combinación lineal significa que los tres vectores son linealmente dependientes lo que en matemáticas se traduce como el determinante de los tres es igual a cero.

Antes de hacer el determinante nos pondremos a pensar en el significado de la ecuación vectorial, en el primer miembro tenemos un punto genérico, o preferentemente un radiovector genérico (vector de posición), el primer término del segundo miembro es un término fijo que nos indica la traslación del plano respecto el origen, y luego el plano en forma de combinación lineal de dos vectores que forman la base.
Esto lo menciono para simplificarnos un poco más, ya que no me interesa esa traslación, el vector ortogonal a el dicho plano depende sólo del plano en sí, es decir, de los vectores que forman base.

Ahora con todo esto nos hemos simplificado bastante y sabemos que el vector ortogonal a dicho plano también será ortogonal a éste:

$$\dst (x,y,z)=\lambda (1,0,0)+\mu(0,0,1)$$

Ahora para que aprendas sólo la mecánica te diré que debes hacer el determinante que sabes que te da la ecuación general del plano y que los coeficientes corresponden al vector asociado, que es el vector ortogonal al plano. Ésto puede parecer sorprendente pero tienes una herramienta que es similar, el producto vectorial, dado dos vectores su producto vectorial es un nuevo vector ortogonal a los dos anteriores y que se calcula haciendo el determinante. Con eso tendrás suficente:

$$\dst \left|\begin{matrix}1&0&x\\ 0&1&y\\ 0&0&z\end{matrix}\right|=z$$

Un vector que tenga la dirección de las cotas es un vector que tiene componentes de abscisas y ordenadas nulas, es decir (0,0,z)=z(0,0,1), siendo "z" el parámetro y por tanto (0,0,1) el vector que buscábamos.

¡Saludos!