Secundaria Algunas dudillas...

[Rayman]

Hola, no sé si me conoceréis, vine en Junio a preguntar dudas sobre el examen de selectividad de Física, y ahora estoy en 1º de la carrera de Química y vengo porque me han surgido dudas que no sé cómo resolver. Las he intentado, pero no sé exactamente

Veréis, es que me dieron una hoja de Problemas de Física de Repaso y hay algunos que no sé por dónde pillarlos. Os explico dónde tengo dudas...

Ejercicios:
1.- De los vectores A = 3i + 4j - k , B = i + 2j + k, calcular:
a)s sus módulos (Fácil)
)su suma. (Fácil)

c) su producto escalar. (Fácil)

d) el ángulo formado entre ellos. (Creo que es con el producto escalar y el coseno, pero no estoy seguro)

e) su producto vectorial (Fácil)

f) un vector unitario perpendicular a ambos. (Creo que se hace con el producto vectorial con el determinante y luego se transforma a unitario, pero no estoy seguro)

2.- Un vector a de módulo a forma un ángulo [FONT=Symbol]q[/FONT] con el vector unitario u. Calcular
1) a . a ; 2) a . u ; 3) a x u ; 4) a ( u . u ) ; 5) u . ( a x a ); 6) a . ( a x u );
7) ( a x u ) . (a x u ); 8) (a x u) . (u x a). (Este no sé por dónde pillarlo)

3.- Dados los vectores. A = i - 2j -2k y B = 2i - 2j - k, calcular:
a) la proyección de A sobre B. (Tengo dudas)

b) un vector unitario normal a ambos. (Creo que se hace con el producto vectorial y el determinante, pero no estoy seguro...)

4.- Demuestra que si la suma de los vectores A, B, y C es cero, entonces se cumple que A x C = C x B = B x A (No sé cómo demostrarlo, sé que es cierto, pero no sé cómo lo compruebo)

5.- Hallar el ángulo que forma el vector V = 3i - j + 2k con el producto vectorial de dos vectores de módulos 5 y 8 situados respectivamente sobre las partes negativas de los ejes x y z. (Este creo que los vectores que te mencionan son el (-5,0,0) y el (0,0,-8), pero no estoy seguro. Hago el producto vectorial con el determinante y luego el ángulo con el producto escalar y el coseno, ¿cierto?)

6.- Dados los vectores A = 3i + 2j+ k y B =2 i + j+ 2k, obtener su producto vectorial A x B y demostrar mediante el producto escalar que el vector obtenido es perpendicular a A y a B. (Creo que el producto vectorial se hace con un determinante, pero no estoy seguro)

7.- Hallar la derivada del vector r = xi + yj sabiendo que x = a cos wt, y = a sen wt . Comprobar que resulta un vector normal a r y hallar la relación entre sus módulos. (No sé por dónde pillarlo)

8 - Hallar el valor de m para que los vectores A = i + 2j - 3k, B = 2i - j + k y
C = 3i + mj + 5k, estén en un mismo plano. (Mi duda aquí es qué condiciones han de tener 2 o más vectores para estar en el mismo plano, resolviendo eso lo podré solucionar)


Si alguien me solucionase estas dudas, me haría un gran favor. Gracias de antemano


Saludos

[arreldepi]

Re: Algunas dudillas...

Ejercicios:
1.- De los vectores A = 3i + 4j - k , B = i + 2j + k, calcular:
a)s sus módulos (Fácil)
)su suma. (Fácil)

c) su producto escalar. (Fácil)

d) el ángulo formado entre ellos. (Creo que es con el producto escalar y el coseno, pero no estoy seguro)

e) su producto vectorial (Fácil)

f) un vector unitario perpendicular a ambos. (Creo que se hace con el producto vectorial con el determinante y luego se transforma a unitario, pero no estoy seguro)

Correcto, así se resuelve.

2.- Un vector a de módulo a forma un ángulo q con el vector unitario u. Calcular
1) a . a ; 2) a . u ; 3) a x u ; 4) a ( u . u ) ; 5) u . ( a x a ); 6) a . ( a x u );
7) ( a x u ) . (a x u ); 8) (a x u) . (u x a). (Este no sé por dónde pillarlo)

Mm, quizás es más fácil de lo que parece. Sabes que

$$\vec a \cdot\vec a = a^2 = a_x\cdot a_x + a_y\cdot a_y + a_z\cdot a_z$$

$$\vec a\cdot\vec u = au\cos(\hat{au}) = au\cos q.$$

$$\vec a \times \vec u = au\sin(\hat{au}) =au\sin q$$

3.- Dados los vectores. A = i - 2j -2k y B = 2i - 2j - k, calcular:
a) la proyección de A sobre B. (Tengo dudas)

b) un vector unitario normal a ambos. (Creo que se hace con el producto vectorial y el determinante, pero no estoy seguro...)

La proyección:

$$\text{proy}_{a_b} = ab\cos(\hat{ab})$$

Si te haces un dibujo verás el por qué.

Vector normal = vector perpendicular: producto vectorial. Para hacerlo unitario divide entre el módulo.

4.- Demuestra que si la suma de los vectores A, B, y C es cero, entonces se cumple que A x C = C x B = B x A (No sé cómo demostrarlo, sé que es cierto, pero no sé cómo lo compruebo)

Mmm, prueba de hacer una combinacion lineal $\vec a+\vec b = -\vec c$
y escribir el vector así en el determinante. Luego aplica propiedades de determinantes y a ver qué sale!

5.- Hallar el ángulo que forma el vector V = 3i - j + 2k con el producto vectorial de dos vectores de módulos 5 y 8 situados respectivamente sobre las partes negativas de los ejes x y z. (Este creo que los vectores que te mencionan son el (-5,0,0) y el (0,0,-8), pero no estoy seguro. Hago el producto vectorial con el determinante y luego el ángulo con el producto escalar y el coseno, ¿cierto?)

Sip.

6.- Dados los vectores A = 3i + 2j+ k y B =2 i + j+ 2k, obtener su producto vectorial A x B y demostrar mediante el producto escalar que el vector obtenido es perpendicular a A y a B. (Creo que el producto vectorial se hace con un determinante, pero no estoy seguro)

Sí, es el determinante:

$$\vec a \times\vec b = \begin{vmatrix}\hat\imath&\hat\jmath&\hat k \\ a_x&a_y&a_z\\ b_x&b_y&b_z\end{vmatrix}$$

7.- Hallar la derivada del vector r = xi + yj sabiendo que x = a cos wt, y = a sen wt . Comprobar que resulta un vector normal a r y hallar la relación entre sus módulos. (No sé por dónde pillarlo)

Haz la derivada y luego el producto escalar de $\vec r$ y de $\vec r\;'$.

8 - Hallar el valor de m para que los vectores A = i + 2j - 3k, B = 2i - j + k y
C = 3i + mj + 5k, estén en un mismo plano. (Mi duda aquí es qué condiciones han de tener 2 o más vectores para estar en el mismo plano, resolviendo eso lo podré solucionar)

Para que 3 vectores estén en un mismo plano, algo tiene que ser 0 , qué?



Inténtalo y si no te sale, pregunta!

Saludos!

[Al2000]

Re: Algunas dudillas...

1. d) y e): Así como lo dices.

2. ¿No sabes como pillar el inciso 8) o toda la pregunta?

3. Con el producto escalar; la proyección de $\boldsymbol A$ sobre $\boldsymbol B$ es $A \cos \theta$, mientras que $\boldsymbol A \boldsymbol \cdot \boldsymbol B = A B \cos \theta$.

4. Tip: Plantea $(\boldsymbol A + \boldsymbol B + \boldsymbol C) \times \boldsymbol C$ y fíjate que el término entre paréntesis es nulo por hipótesis.

5. Así como lo dices.

6. $\dst \boldsymbol A \times \boldsymbol B = \left |\begin{matrix} \boldsymbol i & \boldsymbol j & \boldsymbol k \\ A_x & A_y & A_z \\ B_x & B_y & B_z \end{matrix}\right |$

7. Para derivar $\boldsymbol r$ aplica las mismas reglas de la derivación común y corriente. Nota que $\boldsymbol i$ y $\boldsymbol j$ son constantes. Demuestra la perpendicularidad como lo harías con dos vectores cualesquiera.

8. Si $\boldsymbol A,\,\boldsymbol B,\,\boldsymbol C$ son coplanares entonces $\boldsymbol A \times \boldsymbol B$ debe ser paralelo a $\boldsymbol A \times \boldsymbol C$.

Saludos,

Al

[Rayman]

Re: Algunas dudillas...

1.- Todo bien
2.- Sabía que era algo así, pero como ponia calcula, creí que tenía que calcular algún valor o algo, no sabía que lo podía dejar indicado así sin más, pero ahora que lo veo, me resulta fácil. Todo bien
3.- Todo bien
4.- Era más fácil de lo que pensaba, ya que 0 por cualquier valor da obviamente 0, ya sea escalar o vectorialmente
5.- Todo bien
6.- Todo bien
7.- Es el más difícil con diferencia. Sinceramente, lo he intentado y no lo logro
8.- Todo bien excepto una cosa, entiendo que para que sean coplanares, los productos vectoriales de a con b y a con c han de ser paralelos, pero cómo se veía que 2 vectores eran paralelos? No estoy del todo seguro, pero googleando encontré que eran paralelos si sus valores eran proporcionales, es decir, si uno era dilatación o contracción del otro. Creo que así es

Muchas gracias por la ayuda recibida, me ha sido muy útil para resolverlo. Un saludo

[Al2000]

Re: Algunas dudillas...

...
7.- Es el más difícil con diferencia. Sinceramente, lo he intentado y no lo logro
...

$\dst \boldsymbol r' = (- \omega a \, \mathrm {sen} \, \omega t)\,\boldsymbol i + (\omega a \cos \omega t)\,\boldsymbol j$

$\dst \boldsymbol r \boldsymbol \cdot \boldsymbol r' = - \omega a^2 \, \mathrm {sen} \, \omega t \cos \omega t + \omega a^2 \, \mathrm {sen} \, \omega t \cos \omega t = 0 \quad \Rightarrow \quad \boldsymbol r \perp \boldsymbol r'$

$\dst r = \sqrt {(a \cos \omega t)^2 + (a \, \mathrm {sen} \, \omega t)^2} = a$

$\dst r' = \sqrt {(- \omega a \, \mathrm {sen} \, \omega t)^2 + (\omega a \cos \omega t)^2} = \omega a$

$\dst \Rightarrow \quad \frac {r'} r = \omega$

8.- Todo bien excepto una cosa, entiendo que para que sean coplanares, los productos vectoriales de a con b y a con c han de ser paralelos, pero cómo se veía que 2 vectores eran paralelos? No estoy del todo seguro, pero googleando encontré que eran paralelos si sus valores eran proporcionales, es decir, si uno era dilatación o contracción del otro. Creo que así es

Si dos vectores son paralelos, su producto vectorial es nulo. La determinación del valor de m para que los tres vectores sean coplanares la puedes hacer mas sencilla si usas la propiedad de que el producto mixto $\dst \boldsymbol A \boldsymbol \cdot (\boldsymbol B \times \boldsymbol C) = \left |\begin{matrix} A_x & A_y & A_z \\ B_x & B_y & B_z \\ C_x & C_y & C_z \end{matrix}\right |$ es el volumen del paralelepípedo de aristas $\boldsymbol A,\,\boldsymbol B,\,\boldsymbol C$. Si los vectores son coplanares, entonces el volumen es cero.

Saludos,

Al