1r ciclo Una pregunta sobre la hipérbola como definición métrica (Cónica)

[skinner]

Buenas, acabo de empezar 1º de carrera de aeroespaciales, y estoy estudiando las cónicas. Voy por a hipérbola y la estamos estudiando atendiendo a su definición métrica:

Todo punto P(x,y) pertenece a una hipérbola si el valor absoluto de la diferencia de distancias de P a cada uno de los focos, F1 y F2, es igual a la distancia entre los dos vértices de la hipérbola, 2a:

$P(x,y)\in hiperbola \Leftrightarrow |dist(P, F1) - dist(P, F2)| = 2a$

La ecuación de la hipérbola(centrada en el origen), desarrollando la igualdad anterior, nos queda:

$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$

La duda viene aquí: la profesora dijo que para calcular las asíntotas de la hipérbola, hay que resolver la ecuación:

$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1$

Pero no entiendo por qué se iguala a -1. No puedo hacerlo así porque sí, me gustaría saber el por qué... por supuesto no se lo pregunté a ella porque es una sustituta, y casi ninguna de las preguntas que les hacemos nos la responde con seguridad en ella misma... vaya mala suerte tenemos con la profe.

¡Un saludo y muchas gracias!

[Al2000]

Re: Una pregunta sobre la hipérbola como definición métrica (Cónica)

Tal vez malinterpretaste lo que dijo, no sé... si quieres hallar las asíntotas de la hipébola $\dst \frac {x^2}{a^2}-\frac {y^2}{b^2}=1$, puedes despejar una coordenada en función de la otra, por ejemplo

$\dst y = \pm b \sqrt {\frac {x^2}{a^2}-1}$

la que puedes escribir de la forma

$\dst y = \pm \frac b a x\, \sqrt {1 - \frac {a^2}{x^2}}$

donde se puede apreciar que cuando $x \to \pm \infty$, entonces $y$ tiende a una de las rectas $y = \dst \pm \frac b a x$, que serían las dos asíntotas.

Saludos,

Al

[skinner]

Re: Una pregunta sobre la hipérbola como definición métrica (Cónica)

Graacias Al2000, pero ¿me explicas tu razonamiento?

Ella dijo que simplemente había que igualar la ecuación de la hipérbola a -1 para calcular asíntotas...

¡Un saludo!

[natanael]

Re: Una pregunta sobre la hipérbola como definición métrica (Cónica)

Curioso esto!, si tu igualas las dos hiperbolas, la que abre hacia arriba y a los costados, tienes exactamente la funcion de las asintotas.

$\dst \frac{{x}^{2 } }{{a}^{ 2} } -\frac{{y}^{ 2} }{ {b}^{ 2} } = -1 \Rightarrow -\frac{{x}^{2 } }{{a}^{ 2} } +\frac{{y}^{ 2} }{ {b}^{ 2} } = 1$

Igualando esta con $\dst \frac{{x}^{2 } }{{a}^{ 2} } -\frac{{y}^{ 2} }{ {b}^{ 2} } = 1$ , nos queda:

$\dst \frac{{x}^{2 } }{{a}^{ 2} } -\frac{{y}^{ 2} }{ {b}^{ 2} } = 1 = -\frac{{x}^{2 } }{{a}^{ 2} } +\frac{{y}^{ 2} }{ {b}^{ 2} }$

Despejando "y" en funcion de "x", queda:

$\dst 2\frac{{y}^{2} }{ {b}^{2}} = 2\frac{{x}^{2} }{{a}^{2} }$

$\dst y = \pm \frac{b }{a}x$

Son las funciones de las axintotas que dijo Al.

Tambien puedes hallar las asintotas de cualquier función buscando estos límites, siempre y cuando te den un valor real para m y n.

$\dst m=\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$ y $\dst n=\lim_{x \to \infty} [f(x) -mx]$

Donde m y n son las constantes de la recta $y=mx+n$

[skinner]

Re: Una pregunta sobre la hipérbola como definición métrica (Cónica)

Vale me equivoqué yo... dijo que para calcular las asíntotas igualamos a 0, no a -1.

Gracias a los dos, pero por qué dice lo de igualar a cero? Sigo sin entenderlo, que cabezota soy.

Un saludo y muchas gracias

[GNzcuber]

Re: Una pregunta sobre la hipérbola como definición métrica (Cónica)

Hola skinner,

Te habrán dicho eso probablemente para simplificarte algo, ya que las asíntotas se hallan con los límites en el infinito de la función, es decir su tendencia, que ya te ha mostrado hidromagnetismo cómo se calcula:

La pendiente de la recta que sigue es $\dst m$, recordemos que la ecuación de una recta es $\dst y=m\cdot x+n$. Por lo tanto $\dst m=\lim_{x\to\infty}\left[\frac{f(x)-n}{x}\right]$, pero $\dst n$ es una constante y es despreciable frente a la variable $\dst x$ cuando tiende a infinito, por lo tanto:

$$\dst m=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}$$

Ahora, como sabemos, necesitamos saber por qué punto pasa la recta para tenerla bien definida, porque con el dato de la pendiente podemos encontrar infinitas rectas. Dicho punto lo hallaremos pensando en la intersección con el eje de las ordenadas, nuevamente recurrimos a la ecuación de una recta $\dst y=m\cdot x+n$ y despejamos el valor que queremos, y lo hallamos en el infinito, ya que la función tiende a su asíntota en el infinito, en las proximidades es absurdo hacerlo, ya que la función no tiende a ninguna recta.

$$\dst n=\lim_{x\to\infty}\left[f(x)-m\cdot x\right]$$

En el caso de la hipérbola:

$$\dst \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\Rightarrow y=\pm b\sqrt{\frac{x^2}{a^2}+1}=\pm\frac{b}{a}x\sqrt{1+\frac{a^2}{x^2}}$$

$$\dst m=\pm\frac{b}{a}\lim_{x\to\infty}\frac{\dst x\sqrt{1+\frac{a^2}{x^2}}}{x}=\pm\frac{b}{a}$$

¿Qué hubiera pasado si hubiesemos igualado a cero en vez de uno?

$$\dst \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0\Rightarrow y=\pm\frac{b}{a}x$$

$$\dst m=\pm \frac{b}{a}\lim_{x\to\infty}\frac{x}{x}=\pm \frac{b}{a}$$

Como te había dicho, el cálculo se ha simplificado, incluso se podía deducir sin hacer límites después de despejar.

¡Saludos!

[skinner]

Re: Una pregunta sobre la hipérbola como definición métrica (Cónica)

Muchas gracias GNZcuber, buena explicación... pero como yo soy muy curioso, me gustaría saber por qué sacaste factor común (1/a) de la raíz... ¿intuición para luego facilitar el límite? ¿Por qué razón lo hiciste?

En el caso de la hipérbola:

$$\dst \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\Rightarrow y=\pm b\sqrt{\frac{x^2}{a^2}+1}=\pm\frac{b}{a}x\sqrt{1+\frac{a^2}{x^2}}$$

Muchas gracias de nuevo, un saludo!

[GNzcuber]

Re: Una pregunta sobre la hipérbola como definición métrica (Cónica)

Hola skinner,

Cuando haces límites en el infinito lo mejor, para simplificar las situaciones, es intentar sacar factor común el mayor grado del polinomio que tengas, así las que son de menor grado tenderán a cero. Esto es general, cuando tienes una función racional sacas factor común el mayor grado del numerador y denominador para juzgar si el límite será infinito (grado del numerador mayor que el del denominador), cero (grado del numerador menor al grado del denominador), o un número real diferente de cero (grado del numerador igual al del denominador).

Como información adicional, puede que no siempre tengas polinomios, y cómo juzgo el límite en el infinito de ciertas funciones. Deberías saber el orden de infinito:

factoriales > exponenciales > potenciales > logarítmicas.

Siento que me dejo alguna clase de función, pero ahora mismo no caigo. Bueno, en la Wikipedia vienen muchísimas más :P. El orden de infinito lo puedes comprobar aplicando sucesivamente la regla de l'Hôpital, estoy hablando de casos $\dst \frac{\infty}{\infty}$, y así poder decir si el límite es infinito o cero antes de hacer alguna operación.

¡Saludos!

¡Saludos!