1r ciclo Parametrización de una elipse

[skinner]

Buenas! Necesito deducir la ecuación paramétrica de una elipse, que es:

$\begin{aligned}<br /> & x = \alpha + a \times cos(t) \\<br /> & y = \beta + b \times sen(t)<br /> \end{aligned}$

De donde $\alpha$ y $\beta$ son la coordenada x e y, respectivamente, del centro de la elipse. "a" y "b" son el semieje mayor y semieje menor, respectivamente, de la elipse.

Para deducir esta ecuación paramétrica, yo parto de que la ecuación de una elipse con centro en C($\alpha$,$\beta$) es:

$$\frac{{(x-\alpha) }^{2} }{{a}^{2}} + \frac{{(y-\beta) }^{2} }{{b}^{2} } = 1$$

Para simplificar cálculos, centramos la elipse en el origen C(0,0). Haciendo x=t, y despejando la variable dependiente "y" en función de x = t, nos queda:

$x = t$
$y = \pm \frac{b}{a }\sqrt{{b}^{2 } - {t}^{2 } }$

Entonces, mi ecuación parametrizada sería:

$x = t$
$y = \pm \frac{b}{a }\sqrt{{b}^{2 } - {t}^{2 } }$

que no coincide con:

$\begin{aligned}<br /> & x = \alpha + a \times cos(t) \\<br /> & y = \beta + b \times sen(t)<br /> \end{aligned}$

¿En qué razonamiento me he perdido? Lo que si entiendo es que la ecuación parametrizada de la elipse la puedo sacar a partir de la ec parametrizada de la circunferencia... pero esa es demasiado "mala" pues no da un razonamiento concreto.

Muchísimas gracias. ¡Un saludo!

[Al2000]

Re: Parametrización de una elipse

Yo no entiendo... si eliges otra parametrización, ¿por qué habría de ser igual a la primera? Pareces implicar que todas las ecuaciones paramétricas deben ser iguales...

Si tu deseas partir de la ecuación (1), ¿no te basta con decir que comparando con la identidad trigonométrica seno cuadrado + coseno cuadrado = 1 se obtiene la ecuación paramétrica luego de unos de simples pasos algebráicos?

Saludos,

Al

[skinner]

Re: Parametrización de una elipse

Bueno,pues lo digo de otra forma: ¿de dónde sale la forma paramétrica de la elipse:
$<br /> \begin{aligned}<br /> & x = \alpha + a \times cos(t) \\<br /> & y = \beta + b \times sen(t)<br /> \end{aligned}$ ?

Esa es mi pregunta, realmente.

...
Si tu deseas partir de la ecuación (1), ¿no te basta con decir que comparando con la identidad trigonométrica seno cuadrado + coseno cuadrado = 1 se obtiene la ecuación paramétrica luego de unos de simples pasos algebráicos?
...

¿A qué te refieres con: "comparando con la identidad cos^2 (t) + sen^2 (t) = 1 se obtiene la ecuación paramétrica luego de unos simples pasos algebraicos?

Muchas gracias, y un saludo!

[Al2000]

Re: Parametrización de una elipse

Puedes parametrizar la ecuación de la elipse aprovechando la similitud de tu ecuación (1) con la identidad trigonométrica:

$$\left (\underbrace {\frac {x-\alpha} a}_{\dst \mathrm {sen} \, t} \right )^2 + \left ( \underbrace {\frac {y-\beta} b}_{\dst \cos t} \right )^2 = 1$$

Saludos,

Al

[skinner]

Re: Parametrización de una elipse

Anda! no se me había ocurrido, con lo fácil que era... hay que tener un poquito de vista para cazar esa al vuelo, jeje.

Muchas gracias de nuevo Al, un saludo