1r ciclo Completar cuadrados

[skinner]

Buenas, tengo que completar cuadrados en la siguiente ecuación, en función de $\alpha$:

$${x}^{ 2}+\alpha {y}^{ 2} +x+2y+\alpha-1=0$$

Lo hice tres veces seguidas, con dos métodos distintos, y siempre llego a la misma solución:

$${(x+\frac{1}{2 }) }^{2 } +\alpha {(y+\frac{1}{\alpha }) }^{ 2} =\frac{5{\alpha }^{2 }+4 }{4{\alpha }^{2 } }$$

Sin embargo, la solución es:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
El ejercicio trata de decir el tipo de cónica de que se trata en función de $\alpha$... y el ejercicio dice que para $\alpha \neq 0$ entonces la ecuación queda reducida como puse en (3). ¿En qué me he equivocado? Está claro que en el segundo miembro, pero... ¿por qué?

Un saludo y gracias.

PD: Por cierto, una duda más... para $\alpha=0$ tenemos que se trata de una parábola (se ve claramente si sustituimos en la ecuación (1)), pero si tratamos de sustituir en (2) o en (3) (en la que sea correcta), vemos que no se puede dividir entre cero... ¿por qué? Si nos dan una ecuación reducida como las ecuaciones (2) y (3), ¿cómo sabemos si las raíces del denominador hacen que la curva sea una cónica, y no sea una imposibilidad matemática?

[Al2000]

Re: Completar cuadrados

Pues si tienes dudas yo puedo confirmarte que (3) es la expresión correcta. Sin embargo, sin saber los pasos que hiciste no es posible decir en donde te equivocaste.

Respecto a tu duda respecto a $\alpha = 0$... la ecuación (3) no la puedes usar para analizar ese caso, pues en algún punto en su deducción se asumió que $\alpha \neq 0$ para poder dividir.

Saludos,

Al

[skinner]

Re: Completar cuadrados

¿Cómo lo hiciste tú para llegar a esa expresión? Yo ya te digo que lo hice de 3 maneras diferentes y me dio lo mismo... y esas formas me las enseñásteis vosotros en otro post.

Pero mi error está relacionado, por lo visto, al completar cuadrados y sacar los coeficientes negativos al cuadrado... pero no sé dónde me equivoco.

¿Alguien me dice cómo lo hace?

Un saludo, mañana si puedo pongo la forma en la que yo lo hice, que ya es tardecito

[Al2000]

Re: Completar cuadrados

Te copio la primera ecuación que escribí y tu sigues desde allí. Yo no uso fórmulas, solo inspección así que no te puedo justificar de donde salió cada término. Bueno, esta es mi primera

$\dst x^2 + x + \frac 1 4 - \frac 1 4 + \alpha y^2 + 2 y + \frac 1 \alpha - \frac 1 \alpha + \alpha -1 = 0$

Fresquita de los papeles que tengo aquí al lado...

Saludos,

Al

[carmelo]

Re: Completar cuadrados

Hola:

$x^2+x+\alpha\left(y^2+2\dst\frac y\alpha\right)+\alpha-1=0$
$\left(x^2+x+\dst\frac14\right)-\dst\frac14+\alpha\left(y^2+2\dst\frac y\alpha+\dst\frac1{\alpha^2}-\dst\frac1{\alpha^2}\right)+\alpha-1=0$
$\left(x+\dst\frac12\right)^2+\alpha\left(y+\dst\frac1\alpha\right)^2-\dst\frac1\alpha+\alpha-\dst\frac54=0$
$\left(x+\dst\frac12\right)^2+\alpha\left(y+\dst\frac1\alpha\right)^2=\dst\frac1\alpha-\alpha+\dst\frac54=\dst\frac{4-4\alpha^2+5\alpha}{4\alpha}$

Saludos
Carmelo

[skinner]

Re: Completar cuadrados

Gracias a los dos. Carmelo, cuando tenga tiempo veré en qué me he equivocado, grazzie

Un saludito!

[skinner]

Re: Completar cuadrados

Carmelo!! Ya sé dónde me equivoqué... a la hora de hacer cuadrados en y, cuando tuve que sacar $1/{\alpha}^{2}$ no lo multipliqué por el factor que sacamos para dejar a ${y}^{2}$ sin coeficientes, es decir no lo multipliqué por $\alpha$...... así tuve un sumando $1/{\alpha}^{2}$, que no tenía sentido. Muchas gracias, lo tendré en cuenta para próximos ejercicios.

Un saludo!