1r ciclo Ayuda con gradientes.

[felipeguria]

Buenas a todos, acabo de registarme en este foro, ya que estaba buscando una resolucion a mi duda por Google, y me aparecio un hilo de este foro, que aunque no me ha ayudado a resolver mi duda, me ha ayudado a conocer esta gran pagina, que me da que voy a usar con bastante frecuencia.

Bueno os planteo mi duda, estoy en 1º de Telematica y estamos dando en fisica todo lo relacionado con Campos escalares y vectoriales. Mi problema ha sido al llegar a la parte de "superficies equiescalares o de nivel" y de "gradiente de un campo vectorial".
Bien, yo entiendo los conceptos de ambas cosas, se a lo que se refieren y lo que expresan cada una. El problema es que no se resolverlo, no se resolver el gradiente, porque no se como se hace una derivada parcial aplicandola a lo que viene en mis ejercicios. El concepto de derivada parcial lo he tocado mas que de refilon ( no me culpen, culpen al sistema educativo) y aunque se lo basico no consigo entenderlas en este contexto. Os dejo un par de ejercicios que os pareceran de lo mas sencillo, y supongo que lo seran, pero que sin esa base necesaria se ma hacen dificil de comprender.

EJERCICIO.

El campo de temperaturas en cierta region del espacio viene dado por T(x,y,z)= a+bz,
donde la coordenada z representa la altura y a y b no dependen de las coordenadas.
Determine:
a)(se hacerlo)
b) el valor, la direccion y el sentido maximo de aumento de T por unidad de longitud.

y os dejo la resolucion que me viene:

b) El valor, la dirección y el sentido de maximo aumento de T vienen dados por el vector

gra d [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] = b·$\hat{k}$

Por tanto la dirección y sentido de maximo aumento es la del eje Z (vector $\hat{k}$), y el valor del máximo aumento de T por unidad de longitud viene dado por el módulo de grad T, es decir, b (uniforme en todo el espacio)

(¿como deduce esto ultimo?)

Mas alante os pongo el otro ejercicio que ahora mismo no puedo.

Un saludo a todos y muchas gracias por anticipado.

[felipeguria]

Re: Ayuda con gradientes.

por cierto si alguno me puede decir como hacer para que la ecuacion salga en forma de ecuacion lo agradeceria, se que es muy incomodo leerlo asi.

[Metaleer]

Re: Ayuda con gradientes.

por cierto si alguno me puede decir como hacer para que la ecuacion salga en forma de ecuacion lo agradeceria, se que es muy incomodo leerlo asi.

Tienes que poner la etiqueta [ TEX] [ /TEX] (sin espacios entre corchete y letra) y dentro el código LaTeX. Si quieres centrarlo y además hacer que salga un numerito a la derecha, puedes usar la etiqueta [ TEX=*] [ /TEX].

Alternativamente, en el editor avanzado, puedes darle al botón donde pone TeX y te sale la etiqueta de forma automática.

[felipeguria]

Re: Ayuda con gradientes.

Tienes que poner la etiqueta [ TEX] [ /TEX] (sin espacios entre corchete y letra) y dentro el código LaTeX. Si quieres centrarlo y además hacer que salga un numerito a la derecha, puedes usar la etiqueta [ TEX=*] [ /TEX].

Alternativamente, en el editor avanzado, puedes darle al botón donde pone TeX y te sale la etiqueta de forma automática.

muchas gracias, ya esta resuelto.

[felipeguria]

Re: Ayuda con gradientes.

Esta resuelto lo de poner la formula jajaja, no la resolucion de mi ejercicio.

[Al2000]

Re: Ayuda con gradientes.

...
b) El valor, la dirección y el sentido de maximo aumento de T vienen dados por el vector

gra d [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] = b·$\hat{k}$

Por tanto la dirección y sentido de maximo aumento es la del eje Z (vector $\hat{k}$), y el valor del máximo aumento de T por unidad de longitud viene dado por el módulo de grad T, es decir, b (uniforme en todo el espacio)

(¿como deduce esto ultimo?)
...

Antes de intentar responder a tu duda, déjame decirte de manera mas bien informal, que una derivada parcial es exactamente lo mismo que una derivada común y corriente, pero en el caso de la derivada parcial la función que se deriva depende de mas de una variable. Al calcular la derivada parcial, todas las variables distintas de la variable con respecto a la cual se deriva se consideran constantes.

La definición del gradiente de una función escalar $f$, en coordenadas cartesianas, es

$$\nabla f = \frac {\partial f}{\partial x}\, \boldsymbol i + \frac {\partial f}{\partial y}\, \boldsymbol j + \frac {\partial f}{\partial z}\, \boldsymbol k$$

El resultado es un vector que apunta en la dirección en la cual la función muestra su máximo crecimiento y cuya magnitud es la "rapidez" de aumento de la función (en este contexto, rapidez se refiere al espacio en lugar del tiempo).

En tu problema en particular, tienes una temperatura

$$T_{\dst (x,y,z)} = a + b\,z$$

con $a$ y $b$ siendo constantes. Vale la pena en este momento reconocer que $a$ tendrá unidades de temperatura y $b$ tendrá unidades de temperatura/distancia.

La "rapidez" con la cual cambia esta temperatura en el espacio será

$$<br /> \begin{aligned}<br /> \nabla T &= \frac {\partial T}{\partial x}\, \boldsymbol i + \frac {\partial T}{\partial y}\, \boldsymbol j + \frac {\partial T}{\partial z}\, \boldsymbol k \\<br /> &= \underbrace {\frac \partial {\partial x}(a+b z)}_{\dst 0}\, \boldsymbol i + \underbrace {\frac \partial {\partial y}(a+b z)}_{\dst 0}\, \boldsymbol j + \underbrace {\frac \partial {\partial z}(a+b z)}_{\dst b}\, \boldsymbol k \\<br /> &= b\, \boldsymbol k<br /> \end{aligned}<br />$$

Entonces concluyes que este campo de temperaturas en particular aumenta en la dirección Z con una "rapidez" de $b$ unidades de temperatura/distancia.

Saludos,

Al

[felipeguria]

Re: Ayuda con gradientes.

Antes de intentar responder a tu duda, déjame decirte de manera mas bien informal, que una derivada parcial es exactamente lo mismo que una derivada común y corriente, pero en el caso de la derivada parcial la función que se deriva depende de mas de una variable. Al calcular la derivada parcial, todas las variables distintas de la variable con respecto a la cual se deriva se consideran constantes.

La definición del gradiente de una función escalar $f$, en coordenadas cartesianas, es

$$\nabla f = \frac {\partial f}{\partial x}\, \boldsymbol i + \frac {\partial f}{\partial y}\, \boldsymbol j + \frac {\partial f}{\partial z}\, \boldsymbol k$$

El resultado es un vector que apunta en la dirección en la cual la función muestra su máximo crecimiento y cuya magnitud es la "rapidez" de aumento de la función (en este contexto, rapidez se refiere al espacio en lugar del tiempo).

En tu problema en particular, tienes una temperatura

$$T_{(x,y,z)} = a + b\,z$$

con $a$ y $b$ siendo constantes. Vale la pena en este momento reconocer que $a$ tendrá unidades de temperatura y $b$ tendrá unidades de temperatura/distancia.

La "rapidez" con la cual cambia esta temperatura en el espacio será

$$<br /> \begin{aligned}<br /> \nabla T &= \frac {\partial T}{\partial x}\, \boldsymbol i + \frac {\partial T}{\partial y}\, \boldsymbol j + \frac {\partial T}{\partial z}\, \boldsymbol k \\<br /> &= \underbrace {\frac \partial {\partial x}(a+b z)}_0\, \boldsymbol i + \underbrace {\frac \partial {\partial y}(a+b z)}_0\, \boldsymbol j + \underbrace {\frac \partial {\partial z}(a+b z)}_b\, \boldsymbol k \\<br /> &= b\, \boldsymbol k<br /> \end{aligned}<br />$$

Entonces concluyes que este campo de temperaturas en particular aumenta en la dirección Z con una "rapidez" de $b$ unidades de temperatura/distancia.

Saludos,

Al

buff tio, muchisimass gracias de verdad, ahora si que lo entiendo, esque no conseguia ver de donde salia b·k. Por eso ya comente que mi principal problema era la derivada parcial. Muchas gracias en serio.

Tratare de estudiar ahora el otro ejercicio que comento en el post. Si no lo consigo lo pondre por aqui.

[Al2000]

Re: Ayuda con gradientes.

...
Tratare de estudiar ahora el otro ejercicio que comento en el post. Si no lo consigo lo pondre por aqui.

En tal caso crea un nuevo hilo, no lo pegues a este.

Saludos,

Al

[felipeguria]

Re: Ayuda con gradientes.

Ok, asi lo hare.