1r ciclo Espacio generado por dos vectores en R^4

[skinner]

Hola a todos, dentro de muy poco tengo el primer examen de Álgebra del curso (primer parcial) y me gustaría que me ayudárais a resolver una (de las millones de) duda(s) que tengo. Y es la siguiente.

Tenemos dos subespacios E y F, tal que:

$E=Gen\left\{ (1,1,0,1),(2,1,0,3)\right\}$
$F=Gen\left\{ (0,1,1,2),(1,0,2,2)\right\}$

Como se puede observar ambos subespacios quedan definidos por dos vectores de 4 entradas. El libro indica que:

$dim(E) = 2$

En otras palabras, que la dimensión del subespacio E es 2. Pero según he estudiado, si esos vectores (1,1,0,1) y (2,1,0,3) tienen 4 entradas, es porque se encuentran en $R^4$. Y si un subespacio de R4 es generado por dos vectores (de R4), significa que dicho subespacio tiene dimensión 4, y no 2. No sé, quizás me esté confundiendo... ¿alguien me ayuda?

Ya de paso agradecería que me ayudaran a calcular E+F, siendo:

$E\equiv {x}_{1}+{x}_{2}=0$
$F\equiv {x}_{1}+2{x}_{2}=0$

Sé que tengo que encontrar un vector $w$ tal que $w \in E$ y $w\in F$ al mismo tiempo pero, ¿cómo?

Un saludo y mil gracias

[arreldepi]

Re: Espacio generado por dos vectores en R^4

Mm, ahora no lo recuerdo del todo bien, pero diría que para definir un espacio vectorial en $\mathbb{R}^4$ necesitas, como mínimo, 4 vectores linealmente independientes. Piénsalo en $\mathbb{R}^3$, 2 vectores en $\mathbb{R}^3$ te generan un plano, no el espacio $\mathbb{R}^3$.

Creo recordar , que para calcular E+F sólo tienes que ver qué vectores son linealmentes independientes entre ellos tanto de F como de E, y los que sean linealmente independientes te generan E+F, cuya dimensión será el número de vectores que tengas.

Saludos!

[skinner]

Re: Espacio generado por dos vectores en R^4

Concuerdo contigo en lo primero:P Se necesitan 4 vectores para que E pertenezca a $R^4$. ¿Por qué el libro dice entonces que E tiene dimensión 2?

Y con respecto a lo último que me dijiste para calcular E+F, ¿podrías comprobar si tu afirmación es correcta?

Muchísimas gracias, y un saludo!

[arreldepi]

Re: Espacio generado por dos vectores en R^4

E sólo tiene 2 vectores, con lo cual, E tiene dimensión 2. Lo segundo ahora mismo no puedo comprobarlo, pero diría que sí que se hacía así.

[arreldepi]

Re: Espacio generado por dos vectores en R^4

Rectifico, no me había fijado en lo de E=x1+x2=0, no sé cómo lo haría xD.

[natanael]

Re: Espacio generado por dos vectores en R^4

Concuerdo contigo en lo primero:P Se necesitan 4 vectores para que E pertenezca a $R^4$. ¿Por qué el libro dice entonces que E tiene dimensión 2?

Respuesta:

Piénsalo en $\mathbb{R}^3$, 2 vectores en $\mathbb{R}^3$ te generan un plano, no el espacio $\mathbb{R}^3$.

Hola skinner, creo que no entendiste bien esto que dijo arreldepi, el lo que hizo fue disminuir las dimensiones hasta "una", en que pudieras visualizarlo, porque verlo en R^4, siendo las 4 espaciales vas a tener que pedirle ayuda a Hawking.

Un espacio vectorial R^3 puede tener como base 3 o mas vectores linealmente independientes, nunca menos de 3, ya que sería un subespacio, ejemplo $\dst E=Gen\left\{ (i,0,0),(0,j,0), (0,0,k)\right\}$ que es el que mas usamos en física, pero si tu creas dos vectores más dentro de ese espacio vectorial ejemplo: $\dst (i,j,k), (i+k,0,0)$, esos vectores forman parte del espacio R^3, pero esos dos vectores que creaste nunca van a poder generar un tercer vector que no sea combinacion lineal de ellos, para poder generarlo se necesita un tercero que no sea producto de una combinancion lineal de $\dst (i,j,k), (i+k,0,0)$, es decir, aunque los los vectores que que definen a $\dst E=Gen\left\{ (1,1,0,1),(2,1,0,3)\right\}$ o a F, formen parte de un espacio R^4, como son dos nada más, ellos nunca van a poder generar un vector que no sea combinacion lineal de $\dst (1,1,0,1),(2,1,0,3)$, es decir, si puede estar en R^4 pero nunca vá salir del plano generado por $\dst (1,1,0,1),(2,1,0,3)$, por lo tanto el espacio que gerenan esos dos vectores es de dos dimensiones.

[carmelo]

Re: Espacio generado por dos vectores en R^4

Hola:

Desde mi punto de vista es perfectamente válido lo que dice el libro (o por lo menos lo que tu dices que dice el libro).

Para el caso del subespacio $E$.

$E$ es generado por $\{(1, 1, 0, 1),(2,1,0,3)\}$, y como vemos ambos son linealmente independientes, entonces constituyen una base para $E$. La dimensión del espacio vectorial es el número de elementos de la base, por lo tanto 2.

Noten que $E$ es un subconjunto de $R^4$.

Saludos
Carmelo

[skinner]

Re: Espacio generado por dos vectores en R^4

Gracias por vuestras respuestas, pero es que sigo sin ver algo...

A ver, yo tengo un Subespacio generado por dos vectores en $R^4$, hasta ahí todo correcto. La dimensión de $R^4$ es 4. Por tanto, en $R^4$ sólo podremos encontrar, como mucho, 4 vectores Linealmente Independientes. Hasta ahí todo correcto. Pero SÓLO tenemos 2 vectores LI que generan el Subespacio vectorial. Por tanto, faltan 2 vectores para que todos juntitos puedan formar una base de $R^4$. Al decir que $dim(E)=2$, ¿estamos afirmando que nos encontramos en un Subespacio vectorial generado por dos vectores directores de un plano en $R^4$?

Muchas gracias, y un saludo

[carmelo]

Re: Espacio generado por dos vectores en R^4

Hola:

Tu error está en considerar que esos dos vectores deben generar a $R^4$, cuando lo que se dice por la definición es que generan el subespacio $E$, que es un subconjunto de $R^4$, pero no es $R^4$. Estamos de acuerdo que para generar $R^4$ necesitamos al menos cuatro vectores, pero eso no es lo que dice el enunciado.

Saludos
Carmelo

[natanael]

Re: Espacio generado por dos vectores en R^4

Bueno, una imagen dice mas que mil palabras, (y más si son palabras tecnicas del lenguaje matemático), pero bueno esta imagen es de wikipedia, pero alli explican las cosas a lo abstracto, por eso voy a tratar de traducir.



Has el esfuerzo de tratar de ver estos vectores en $\dst \mathbb{R}^3$, puedes hacerlo como usualmente yo lo hago, simplemente me imagino un tercer vector $\dst \vec{v_3}$, que es el producto vectorial de $\dst \vec{v_2}$ por $\dst \vec{v_1}$ , es decir apunta hacia arriba, empiesa en el origen de $\dst \vec{v_1}$ y $\dst \vec{v_2}$, pero es perpendicular a los dos, es decir al plano formado por esos dos vectores, que es el cuadro de lineas negras que se forma en la imagen gif. Ahora como vez el vector $\dst \vec{u}$, vá cambiado de direccion constantemente en la animación, es decir sus componentes $\dst u_1$ y $\dst u_2$, van cambiando de valores que pertenecen a $\dst \mathbb{R}^3$, ya que el plano (que es una espacio formado por conjuntos de tres elementos o entradas) forma parte de $\dst \mathbb{R}^3$, pero el vector $\dst \vec{u}$, sólo puede moverse en ese plano sí va a ser el producto de una combinacion lineal de $\dst \vec{v_1}$ y $\dst \vec{v_2}$, ¿Qué quiere decir esto?, que el espacio vectorial que forma $\dst \vec{v_1}$ y $\dst \vec{v_2}$, es de dos dimensiones, porque los vectores que van a ser combinacion lineal de $\dst \vec{v_1}$ y $\dst \vec{v_2}$ nunca van a salir de ese plano.

Se necesita un tercer vector, que no sea combinacion lineal $\dst \vec{v_1}$ y $\dst \vec{v_2}$, para que esos tres puedan formar un espacio vectorial en $\dst \mathbb{R}^3$.

Amigo hasta aquí llego yó, sé que quieres entenderlo a profundidad, yo te aconsejaría concentrarte en esta imagen, lastima que no representan el tercer vector del que te hablo, porque sería mas facil de visualizarlo, pero has el esfuerzo, una vez entiendas esto en $\dst \mathbb{R}^3$, tu conocimientos estaran preparados para generalizarlo a $\dst \mathbb{R}^n$.

Tambien te aconsejaría leer sobre espacios vectoriales en wikipedia, pero bueno allí todo esta mas abstracto, suerte!

Saludos.

[skinner]

Re: Espacio generado por dos vectores en R^4

Mil gracias de verdad a todos, con estos dos últimos mensajes lo he entendido de verdad. Gracias de nuevo, y un saludo