1r ciclo Problema de aplicaciones lineales

[Argentum_90]

Hola, me han mandado este ejercicio de álgebra de Aplicaciones lineales pero no se muy bien cómo hacerlo.



Gracias

[Salvadiaz]

Re: Problema de aplicaciones lineales

Hola! el problema no es muy complicado, al menos yo pienso que no lo es. Aun asi, prefiero que alguien pudiera explicarlo mejor que como yo lo voy a hacer, que espero que est´e bien.

a) Nos pide hallar la matriz asociada a la aplicacion lineal, y nos dan los 3 "ingredientes" necesarios:

Base B, las imagenes de sus vectores y la base canonica, W, de P_2(R)(conjunto de los polinomios en la indeterminada 'x' de grado menor o igual a 2).
Llamemos A a la matriz asociada a la aplicacion f respecto de B, y W. Tendra por columnas las imagenes de los vectores (1,1,1), (0,-1,1) y (0,0,1), es decir, 2+5x, 5x+x^2 y 1+4x, que, expresados en forma matricial o vectorial, seria: (2,5,0), (0,5,1) y (1,4,0), recordemos que estamos tomando como referencia la base canonica de los polinomios de grado menor o igual a 2.

Entonces A esta formada por esos vectores en columna.

b) f es inyectiva si y solo si Ker(f) ={0}, tienes que hallar el Ker(f), es decir, igualar las imagenes a cero, y si te da el vector (0,0,0), es inyectiva. Para su sobreyectividad, tienes que afirmar que la dimension de Im(f) sea igual a la dimension del conjunto final, es decir, a la dimension de P_2(R).

c) Para hallar una base del kerf, solo tienes que ver qu´e vectores lo componen y si son linealmente independientes entre si. Para una base de Im(f), coges los vectores imagen de la aplicacion, y los pones por filas en una matriz, compruebas que son LI y ya tienes una base para Im(f).

d) Este apartado es rarillo. A mi se me ocurre un vector (x,y,z) = (2,2,2), este vector pertenece al subespacio, ya que x=y= 2, y x+z=y+z=4. Asi que yo lo que he hecho es lo siguiente:

Como es una aplicacion lineal: f(2,2,2)=2f(1,1,1)=2(2+5x)=4+10x.

Saludos!!

[Salvadiaz]

Re: Problema de aplicaciones lineales

Hola de nuevo, se me ocurre hacer esto para generalizar el resultado del apartado d).

De las ecuaciones del subespacio U sacamos lo siguiente:

$x+z=y+z=4 \Rightarrow z=4-x=4-y$

$U= { (x,x,4-x)\in {R}^{3 } / x+4-x=4 }$

$f(u) = f(x,x,4-x)=f(x,x,-x)+f(0,0,4)$

como es aplicacion lineal, $f(x,x,-x)+f(0,0,4)=xf(1,1,-1)+4f(0,0,1)$


Saquemos f(1,1,-1), que no la tenemos:

$f(1,1,-1)=f(1,1,1)-2f(0,0,1)=2+5x-2(1+4x)=2+5x-2-8x=-3x$


En general, $f(x,x,4-x) = xf(1,1,1) + (4-2x) f (0,0,1) = -3{x}^{2 }+16x+4 = f(u)$

Puedes comprobarlo con algun ejemplo numerico.
Espero que este bien hecho, saludos!