1r ciclo Duda sobre producto punto

[Purpuro]

Hola, tengo una duda sobre si la siguiente afirmación es falsa o correcta:

$<br /> \vec{u}\cdot \vec{v} =\vec{u}\cdot \vec{w} \Rightarrow \vec{v} =\vec{w}<br />$

Investigue y encontre dos un libros con la siguientes preguntas:

Demuestre que si $\vec{v}$ y $\vec{w}$ son dos vectores en un espacio vectorial $U$, y si $\vec{u}\cdot \vec{v} =\vec{u}\cdot \vec{w}$, para todos los vectores $\vec{u}$ en $U$, entonces $\vec{v} =\vec{w}$

Y tiene esta respuesta:

Si $\vec{u}\cdot \vec{v} =\vec{u}\cdot \vec{w}$, entonces $\vec{u} \cdot (\vec{v}-\vec{w})$= 0 para todos los vectores $\vec{u}$ en $U$. Como $\vec{v}-\vec{w}$ es un vector en $U$, esto significa que $(\vec{v}-\vec{w})\cdot (\vec{v}-\vec{w})$= 0. Por lo tanto, $\vec{v}-\vec{w}= 0$ así que $\vec{v}=\vec{w}$

Pero encontre otro que dice:

¿Es vedad que si $\vec{u}\cdot \vec{v} =\vec{u}\cdot \vec{w}$ y $\vec{u} \neq 0$, entonces $\vec{v}=\vec{w}$?

Y aquí te dicen tajantemente que no.

Alguien me puede decir ¿que es lo correcto? no tanto en las respuestas que encontre, sino en la afirmación....gracias y saludos.

[Al2000]

Re: Duda sobre producto punto

Cualesquiera dos vectores que tengan la misma proyección sobre la dirección de $\vec u$ resultarán en productos escalares iguales. Sin embargo, que tengan la misma proyección no los hace necesariamente iguales.

Saludos,

Al

[Purpuro]

Re: Duda sobre producto punto

Cualesquiera dos vectores que tengan la misma proyección sobre la dirección de $\vec u$ resultarán en productos escalares iguales. Sin embargo, que tengan la misma proyección no los hace necesariamente iguales.

Saludos,

Al

Entonces $\vec{v}=\kappa\vec{w}$ y logicamente no son iguales, si ya entendí el concepto, ya solo me resta buscar una demostración formal. Muchas gracias

[carmelo]

Re: Duda sobre producto punto

Hola:

Una sutileza. Los dos enunciados que encontrastes en los libros no son equivalentes, y por lo tanto no encierran una contradicción, son ambos correctos.

saludos
Carmelo

[raguirrev]

Re: Duda sobre producto punto

creo que ya tienes la respuesta ...pero veamos :

$<br /> \vec{u}\cdot\vec{v}=\hat{u}\cdot \vec{w} \Rightarrow \vec{u}\cdot\vec{v}-\hat{u}\cdot \vec{w} = \vec{0} \Rightarrow \left<\vec{u} ,\vec{v}-\vec{w} \right> = \vec{0} <br />$

lo cual implica que "u" y "v-w" deben ser ortogonales, esto es que el vector "v-w" sea paralelo al vector ortogonal de "u".

Un caso particular seria cuando v=w.