Secundaria Ecuacion trigonometrica

[isedlopez]

como planteo la resolucion de estas ecuaciones

2sin x = 4cosx +1

2cos x = -3sin x +1.

Se me ocurre que el seno de x es igual al coseno de su complementario , pero no se como seguir
Alguien me ayuda como plantearlo para poder continuar ?

[Al2000]

Re: Ecuacion trigonometrica

En el peor de los casos siempre puedes poner el seno/coseno en términos del coseno/seno y resolver la ecuación de segundo grado resultante. Por ejemplo, la primera se podría resolver poniendo $2 \sqrt {1-\cos^2 x} = 4 \cos x + 1$, elevando al cuadrado ambos miembros y resolviendo la ecuación de segundo grado en cos x. Algo similar se puede hacer con la segunda ecuación.

Saludos,

Al

[polonio]

Re: Ecuacion trigonometrica

O por simple sustitución: de la primera ecuación se puede despejar

$$\sin x = 2\cos x+\frac{1}{2}$$

y sustituimos en la segunda

$$2 \cos x = -3(2 \cos x + \frac{1}{2}) + 1$$

obteniendo que:

$$\cos x = -\frac{1}{16}$$

(si no me equivoco con los cálculos rápidos).

[isedlopez]

Re: Ecuacion trigonometrica

Gracias por la sugerencia, pero no son un sistema, son dos ecuaciones diferentes.

[angel relativamente]

Re: Ecuacion trigonometrica

Hola isedlopez , hay una relación trigonométrica que dice:

$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$

A partir de ahí tenemos que:

$$\dst \sin \alpha = \sqrt{1-\cos^2 \alpha}$$

$$\dst \cos \alpha = \sqrt{1-\sin^2 \alpha}$$

Ahora en tus dos ecuaciones independientes tan solo has de dejar el seno en función del coseno o viceversa y despejarlo, y finalmente hacerle la inversa para hallar x.
¡Saludos!

[polonio]

Re: Ecuacion trigonometrica

Gracias por la sugerencia, pero no son un sistema, son dos ecuaciones diferentes.

Ah... no te había entendido (ni te habías expresado muy bien ). Aprovecho para desambiguar un poco: las ecuaciones de un sistema son, en general, diferentes (estaría bueno que las ecuaciones de un sistema fuesen iguales o dependientes). Ahora sé que son dos ecuaciones que no están relacionadas de ninguna forma.

Bueno, pues entonces me sumo a las sugerencias de mis compañeros Al y Ángel.

[javirk]

Re: Ecuacion trigonometrica

Para la primera:

$2\sin x = 4\cos x +1$

Hacemos que $\sin x =\sqrt{1-\cos^{2}x}$

Entonces tenemos:
$2\sqrt{1-\cos^{2}x}=4\cos x +1$

Operamos elevando al cuadrado:
$4-4\cos^{2}x=16\cos^{2} x +1+8\cos x$

Hacemos las operaciones:
$0=20\cos^{2}x+8\cos x -3$

Acabamos la ecuación de segundo grado y tenemos como resultados:
$\frac{-2+\sqrt{19}}{10}$

Y el otro:
$\frac{-2-\sqrt{19}}{10}$

Por favor, repasa las operaciones que lo he hecho rápidamente y no estoy demasiado seguro, sobre todo teniendo en cuenta los dos resultados. La segunda se haría de la misma manera.

Un saludo.