1r ciclo Ecuación compleja

[kuvala]

Hola Buenas:

Tengo el siguiente ejercicio:

"Resuelve (calcula todas las soluciones complejas de) la ecuación

${(z+1+i)}^{ 4}=-4$

Entiendo que la raíz cuarta de -4 tiene que ser solución de (z+1+i) para que se cumpla la ecuación. Lo que no entiendo de la resolución del ejercicio es lo siguiente:

$w=z+1+i$

$w=\sqrt[4]{-4}=\sqrt[4]{4{e}^{ i\pi } }$

No entiendo por qué el argumento es $\pi$.

Mi interpretación es la siguiente: la raíz cuarta de -4 es un número complejo que solo tiene parte imaginaria, es decir, que sería así $\sqrt[4]{4i}=\sqrt[4]{4{e}^{i\theta } }$ El ángulo $\theta$ se averiguaría así: $arctan(\frac{b}{ a})$, donde $a$ sería el término real del número complejo y $b$ sería la parte imaginaria del mismo. En este caso, como no hay parte real, pues sería cero, pero la arcotangente de infinito no es ningún ángulo en concreto, por lo que intentamos hacer otro razonamiento. Sabemos que ${e}^{i\theta }=\cos (\theta )+i\sin (\theta )$. Para que la parte real sea cero, el coseno tiene que ser cero, y eso solo ocurre en $\frac{\pi }{ 2}$ en el primer cuadrante. Sin embargo, en la resolución no pone ese ángulo, sino que pone $\pi$ y por eso no lo entiendo.

Muchas gracias

Un Saludo

[polonio]

Re: Ecuación compleja

Aquí $-4$ es un número del plano complejo que sólo tiene parte real. Si lo dibujas lo verás más claro. En polares vemos que su módulo es $4$ y el argumento $\pi$ (el argumento es el ángulo que forma el vector de posición del número complejo con el semieje real positivo). No entiendo por qué dices que $-4$ es $4i$...

Por otra parte, la raíz n-ésima de un número complejo tiene n soluciones. Para $z=r\ee^\theta$:

$$\dst \sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}\exp({\frac{\theta}{n}+\frac{2\pi k}{n}}); \,\, k=0,1,2,...,n-1$$

[kuvala]

Re: Ecuación compleja

Aquí $-4$ es un número del plano complejo que sólo tiene parte real. Si lo dibujas lo verás más claro. [...]. No entiendo por qué dices que $-4$ es $4i$...

Hombre... viéndolo así, si lo entiendo. Es decir, que sea como dices, que -4 es un número del plano complejo que solo tiene parte real. Lo que pasa es que yo puse que -4 es $4i$ porque al estar un número negativo dentro de una raíz, ese signo lo he cambiado por el término imaginario y pensaba que era un número complejo con parte imaginaria nada más, aunque... ahora que lo dices, creo que me acabo de dar cuenta de mi fallo jeje

A ver si acierto:
Yo he puesto que lo siguiente $\sqrt[4]{-4}=\sqrt[4]{4i}$ es lo mismo, pero creo que no es así, porque la raíz no es una raíz cuadrada, sino que es una raíz cuarta. Por lo tanto, creo que debería ser así:
$\sqrt{\sqrt{-4} }=\sqrt{\sqrt{4} i}=\sqrt{2i}$

¿Está correcto así?

PD: Me he dado cuenta de que tengo un gran cacao mental en los números complejos jajaja

[guibix]

Re: Ecuación compleja

A ver si acierto:
Yo he puesto que lo siguiente $\sqrt[4]{-4}=\sqrt[4]{4i}$ es lo mismo, pero creo que no es así, porque la raíz no es una raíz cuadrada, sino que es una raíz cuarta. Por lo tanto, creo que debería ser así:
$\sqrt{\sqrt{-4} }=\sqrt{\sqrt{4} i}=\sqrt{2i}$

¿Está correcto así?

Casi, jeje.

Recuerda que para una raíz cuarta hay cuatro resultados y solo has dado uno. Los cuatro resultados son:

$-4=(\sqrt{2i})^4=(-\sqrt{2i})^4=(i\sqrt{2i})^4=(-i\sqrt{2i})^4$

Saludos.

[Al2000]

Re: Ecuación compleja

Las cuatro raices cuartas de -4 son $\dst \sqrt [4]{-4} = \pm 1 \pm i$.

Saludos,

Al

[polonio]

Re: Ecuación compleja

Casi, jeje.

Recuerda que para una raíz cuarta hay cuatro resultados y solo has dado uno. Los cuatro resultados son:

$-4=(\sqrt{2i})^4=(-\sqrt{2i})^4=(i\sqrt{2i})^4=(-i\sqrt{2i})^4$

Saludos.

Tampoco ... antes he puesto como se calculan estas raíces y Al da los resultados.

[guibix]

Re: Ecuación compleja

Tampoco ... antes he puesto como se calculan estas raíces y Al da los resultados.

Cierto, yo lo he hecho de cabeza, pero no es incorrecto, el resultado es el mismo, aunqué la forma que ha presentado Al es más simplificada y elegante.

Un saludo!

[polonio]

Re: Ecuación compleja

Cierto, yo lo he hecho de cabeza, pero no es incorrecto, el resultado es el mismo, aunqué la forma que ha presentado Al es más simplificada y elegante.

Perdona, pero sí es incorrecto y el resultado no es el mismo (ni mucho menos): $(\sqrt{2i})^4\neq -4$ para empezar...

[guibix]

Re: Ecuación compleja

Perdona, pero sí es incorrecto y el resultado no es el mismo (ni mucho menos): $(\sqrt{2i})^4\neq -4$ para empezar...

¿Estás seguro?

mmm, a ver:

$(\sqrt{2i})^4= (2i)^2=4*(-1)=-4$

$(-\sqrt{2i})^4= (2i)^2=4*(-1)=-4$

$(i\sqrt{2i})^4= (-1*2i)^2=4*(-1)=-4$

$(-i\sqrt{2i})^4= (-1*2i)^2=4*(-1)=-4$

¿Dónde está el error?

Creo que la confusión está en $\sqrt{i}$ que por su forma parece imaginario puro, pero no lo es ya que da $\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}i$ y tiene igual de imaginario que de real, como la respuesta de Al.

Aún así reconozco que no es una buena forma ya que no está en la configuración $a+bi$ o $e^{\alpha i}$ que es como se deben simplificar todos los complejos, pero seguía el razonamiento de kuvala y no pensé en simplificarlo.

Saludos.

[polonio]

Re: Ecuación compleja

Es que $\sqrt{i}$ no es sólo $\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}i$, una raíz cuadrada tiene dos soluciones: también puede ser $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}i$.

De todas formas, al elevar la raíz a la cuarta, te puede lo mismo, pero hay que tener mucho cuidado.

[guibix]

Re: Ecuación compleja

Es que $\sqrt{i}$ no es sólo $\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}i$, una raíz cuadrada tiene dos soluciones: también puede ser $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}i$.

De todas formas, al elevar la raíz a la cuarta, te puede lo mismo, pero hay que tener mucho cuidado.

Tienes razón, sólo era para esclarecerlo, porqué me decías que era totalmente incorrecto, ¿pero tampoco es incorrecto del todo, verdad?

Un cordial saludo.

[polonio]

Re: Ecuación compleja

Tienes razón, sólo era para esclarecerlo, porqué me decías que era totalmente incorrecto, ¿pero tampoco es incorrecto del todo, verdad?

Un cordial saludo.

Sí, enfaticé demasiado y fui un poco duro

La cosa es que quería dejar bien claro que una raíz compleja tiene varias soluciones (no sólo una o dos) y van a jugar con eso mucho en los exámenes.

[kuvala]

Re: Ecuación compleja

La cosa es que quería dejar bien claro que una raíz compleja tiene varias soluciones (no sólo una o dos) y van a jugar con eso mucho en los exámenes.

Vaya, muchas gracias por todo lo que habéis escrito y por haberos molestado. Ahora me quedan las cosas bastante claritas jeje.

Un Saludo a todos

[guibix]

Re: Ecuación compleja

Sí, enfaticé demasiado y fui un poco duro

La cosa es que quería dejar bien claro que una raíz compleja tiene varias soluciones (no sólo una o dos) y van a jugar con eso mucho en los exámenes.

Tienes razón, a veces me olvido que algunos se juegan muchos en eso y se debe ser riguroso con los detalles.


kuvala, un placer ser de ayuda.

Saludos!

[polonio]

Re: Ecuación compleja

¡Ja, ja!... no, hombre, guibix, no seas tan tremendista No dije que kuvala se la jugara sino que los profesores juegan (o le sacan juego) con el tema de ver si os dais cuenta de que hay varias soluciones y no sólo una.

¡Ay!, se nota la época de exámenes...