1r ciclo Tipo de cuádrica en función de parámetro

[skinner]

Buenas a todos. Tengo el siguiente ejercicio:

Determinar razonadamente el tipo de cuádrica que corresponde a la ecuación: $\dst x^2+(a^3-a)y^2+(a+2)z^2=a$ en función del parámetro "a".

Observo que el valor a=1 me da la ecuación:

$x^2+3z^2=1$

Quisiera saber si esta ecuación tiene nombre propio, es decir, si se trata de alguna cuádrica (en caso negativo: ¿cómo puedo explicarle esto al profesor en la hoja del examen?)

Si a=-1 entonces:

$x^2+z^2=-1$

Lo cual nunca puede darse; ¿es una cuádrica imaginaria? ¿Tiene nombre propio?

Si a=0

$x^2+2z^2=0$

Lo cual se da solo si (x,y,z)=(0,y,0). Es decir, es un punto.

Es entonces cuando pongo esta ecuación del enunciado en forma estándar:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Y observo que para el resto de valores obtenemos un elipsoide.

¿Estuvo bien? Analíticamente, ¿se puede determinar cuales son simétricas respecto del plano z=0?

Un saludo y mil gracias!

[Al2000]

Re: Tipo de cuádrica en función de parámetro

Un par de comentarios sin pretender analizar todos los casos...

- Para a = 1, la ecuación que pones es una elipse. Si tomas en cuenta los valores de $y$, entonces es un cilindro elíptico.

- Para a = -1, no existe un lugar geométrico que satisfaga la ecuación.

- Para a = 0, (x,y,z) = (0,y,0) no es un punto sino una línea recta que coincide con el eje Y.

- El valor a = -2 también es interesante... así al ojo la ecuación parece un ¿cilíndro hiperbólico? No se si semejante cosa existe.

Respecto a tu última pregunta, todas las superficies son simétricas respecto del plano z = 0, porque z aparece elevado al cuadrado (lo mismo vale para los otros dos planos coordenados).

Saludos,

Al

[skinner]

Re: Tipo de cuádrica en función de parámetro

Quisiste decir el valor a=-2, no?

Sí, es interesante ese valor... Por lo que puedo ver se trata de un cilindro hiperbólico como el siguiente:



Solo que en nuestra ecuación, el cilindro se abre a lo largo del eje OY.

Muchas gracias por tu ayuda

Un saludo