Secundaria Calcular cuántas circunferencias se pueden meter en un cuadrado

[angel relativamente]

Hola amigos. Hay una cuestión que me esta complicando bastante. Todo surge a raíz de un problema en concreto que he sacado de mi libro del curso que viene (2º bachillerato) que dice así:

Si soltamos 26 ovejas en un prado cuadrado de $35m$ de lado, demuesta que hay al menos dos de ellas que están a menos de $10m$ de separación.

Este problema está situado en el tema 0, donde te cuentan un poco los tipos de demostraciones que hay y te ponen algunos ejemplos. Este en concreto está en el apartado del PRINCIPIO DEL PALOMAR, que para quien no lo conozca:

Sean $m$ palomas en $n$ palomares y $m>n$ , existe al menos un palomar que tendrá más de una paloma.

Es bastante obvio, aunque luego los problemas no lo son tanto. Bueno, después de varios intentos, se me ha ocurrido generalizar la pregunta de este modo (matemáticos, les doy permiso para lanzarme el libro a la cabeza por mi quizá escaso formalismo):

Sea $\alpha$ un plano que contiene a un cuadrado c de lado b, calcula el número máximo de circunferencias de radio r que caben en el plano $\alpha$ y que cumplan:
a) Que sus centros se encuentren dentro del cuadrado c
b) Que no sean secantes unas a otras

Pido ayuda para el problema de las ovejas que no me sale, a ver si alguno de vosotros se anima a intentarlo

¡Y ya si es un aventurero que se lance con la generalización!

Un saludo, y muchas gracias anticipadas.

Ángel

[Oriol Frigola Manzano]

Re: Calcular cuántas circunferencias se pueden meter en un cuadrado

La respuesta que supongo que se esperaba en la pregunta de tu libro de bachillerato era que 26 ovejas por PI por 5² es mayor que 35 por 35. Por lo tanto no pueden distribuirse 26 ovejas equidistantes 10 metros. Pero, en el enunciado no requiere que todas las ovejas tengan todas el mismo terreno, lo cual invalida el razonamiento anterior, puesto que se pueden colocar ovejas en las esquinas y/o lados (haciendo pruebas he conseguido distribuir 20 ovejas en el cuadrado de 35x35; si las ovejas tienen todas el mismo terreno he conseguido distribuir solo 10).
La generalización que planteas es muy interesante, pero parece muy complicada de resolver...
Lo miraré a ver que me sale...
Oriol

[angel relativamente]

Re: Calcular cuántas circunferencias se pueden meter en un cuadrado

¡Gracias Oriol!

Curiosamente después me di cuenta de que mi libro incluía un CD donde tiene las soluciones a esos problemas, y esta es la solución que dan:

Dividimos el cuadrado de lado 35 m en 25 cuadraditos de lado 7 m cada uno. Al haber 26 ovejas, necesariamente han de estar, al menos dos, en un mismo cuadradito. Y la distancia máxima dentro del cuadradito es su diagonal, que mide: $d=\sqrt{7^2+7^2}=\sqrt{98}<10$

La respuesta ha sido un poco insatisfactoria para mi gusto, pues aun teniendo 25 ovejas en lugar de 26, habría que demostrar que hay un punto dentro de cada cuadradito que lo separe del resto de puntos a una distancia mínima de 10m, y eso no estoy seguro de que se cumpla puesto que el lado de cada cuadradito es 7 y el del cuadrado grande es solo 35 (debería de ser 50).

Y en cuanto a la generalización, sí que parece bastante complicada, menos mal que me lo pensé dos veces y la puse para un cuadrado de lado b y no para un polígono de n lados

Recuerdo que este año, en las olimpiadas, me pusieron un problema que decía así:

En un hexágono regular de lado unidad se sitúan 19 puntos. Demuestra que
hay al menos un par de ellos separados por una distancia no mayor que $\sqer{3}/3$

Bueno, sobra decir que ese fue uno de los que me dejé en blanco, aunque según he visto en las soluciones lo que hacen es triangular.

¡Un saludo!

[carroza]

Re: Calcular cuántas circunferencias se pueden meter en un cuadrado

Hola.

No veo por qué te resulta insatisfactoria la solución del libro. Se trata de mostrar que si hay 26 ovejas están a menos de 10 metros, no que si hay 25 pueden estar a más de 10 metros.

Con respecto al problema de la olimpiada, la distancia máxima debe ser $1/\sqrt{3}$, no? Se haría dividiendo el exágono en 6 triángulos, y cada uno de los triángulos en tres trapezoides por líneas que van del centro del triángulo a los centros de los lados.

[angel relativamente]

Re: Calcular cuántas circunferencias se pueden meter en un cuadrado

No veo por qué te resulta insatisfactoria la solución del libro. Se trata de mostrar que si hay 26 ovejas están a menos de 10 metros, no que si hay 25 pueden estar a más de 10 metros.

Claro, pero entonces es un poco estúpido lo del planteamiento del PRINCIPIO DEL PALOMAR, pues simplemente puedo demostrar que con 25 ya se cumpliría que al menos hay dos a menos de 10m (lo que me cuesta es demostrar cuál es el máximo de ovejas que caben).

Con respecto al problema de la olimpiada, la distancia máxima debe ser , no? Se haría dividiendo el exágono en 6 triángulos, y cada uno de los triángulos en tres trapezoides por líneas que van del centro del triángulo a los centros de los lados.

Sí, el LaTeX a veces nos juegan malas pasadas, el problema dice que la distancia máxima debe ser $\dst \boxed{\frac{\sqrt 3}{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

¡Muchas gracias por la ayuda prestada carroza!

[GNzcuber]

Re: Calcular cuántas circunferencias se pueden meter en un cuadrado

Hola Ángel,

Yo hace dos días he leído este problema, pero necesitaba mostrarte la posición más óptima, y que sea indiscutible, de colocar las ovejas y demostrar que el área abarcada era mayor que el área del cuadrado. Pero no ha resultado nada fácil.

Por otra parte, a mi me ha resultado algo insatisfactorio porque esperaba algo más supongo, como tú, sin embargo por mucho que nos guste encontrar contraejemlpos generales, lo mejor es ser contundente y mostrar un contraejemplo, con ello bastará. Si aquí ya demuestran que no es posible que quepan 25, menos cabrán 26, y listo.

Claro, pero entonces es un poco estúpido lo del planteamiento del PRINCIPIO DEL PALOMAR, pues simplemente puedo demostrar que con 25 ya se cumpliría que al menos hay dos a menos de 10m (lo que me cuesta es demostrar cuál es el máximo de ovejas que caben)

Muy lejos de lo que has expresado, creo que habrás querido decir obvio, estúpido no es, ya que es lógico, y a veces estos postulados tan obvios son los que más nos cuestan de aplicar o entender su relevancia. Yo este principio, lo conocía como el principio de las cajas, y te presentaré el principio de las cajas generalizado:

"Sean $m$, $n$ y $r$ enteros positivos tal que $m>r\cdot n$, entonces si tenemos $n$ cajas y $m$ elementos, en al menos una de ella habrá más de $r$ elementos".

Si bien recuerdo, nos dijo una profesora que los problemas más difíciles están relacionados con este principio en combinación con combinatoria y otras herramientas.

¡Saludos!

[carroza]

Re: Calcular cuántas circunferencias se pueden meter en un cuadrado

Hola.

Si lo que queremos es encontrar cuál es el número máximo de ovejas a una distancia dada, creo que lo mejor es utilizar el empaquetamiento compacto:

La forma más eficiente de disponer objetos, con una distancia mínima, es situarlos en los vértices de una red de triángulos equiláteros.
Así, cada objeto estará rodeado por otros seis, a la distancia mínima admisible.

Ahora, el problema es meter esta red de triángulos dentro de la figura que nos den. En el caso de un cuadrado de lado L, si la distancia mínima es d, pondemos colocar n objetos sobre un lado, y luego otros n objetos sobre estos, en una disposición triangular:

o.o.o.o.o.
.o.o.o.o.o.
o.o.o.o.o.

Para esta disposición, el numero de objetos n en la fila de la base cumple:

$L \ge (n-1/2) d$

Por otro lado, el número de filas m cumple:

$L \ge (m-1) d \sqrt{3}/2$

Aplicando esto al caso del cuadrado de lado 35, con distancia mínima 10, sale n=4, m=5

Por tanmto, yo diría que el número mínimo es 20.