1r ciclo Numero complejo. Calcular argumento

[skinner]

Buenas a todos. Agradecería que me ayudasen con una cuestión que me está ocasionando quebradero de cabeza.

Tengo el siguiente complejo: $\dst z=i^{1/3}$. Mi pregunta es: ¿cuál es su argumento? Cuando digo argumento espero que entendáis que me refiero al ángulo \theta que forma z con el eje real positivo (+OX)

Si el complejo fuese simplemente $w=i$, entonces $w=i=\cos{\theta}+i\sin{\theta} \Rightarrow \theta=\pi/2$

Pero por desgracia no es así de sencillo...

Muchas gracias!

Un saludo

[angel relativamente]

Re: Numero complejo. Calcular argumento

Hola skinner. A ver si mi planteamiento es bueno.

$$\dst z=i^{1/3}=\sqrt[3]{i}$$

Como bien sabemos:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Siendo k el número de vueltas (expresado en grados). Por tanto:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Para que dos complejos sean iguales, han de cumplir que sean iguales su módulo y su argumento, por lo que:

$$r^3=1\quad \Rightarrow \quad r=1$$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Si te piden el argumento en el primer cuadrante, la respuesta sería: [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Si te piden el argumento en el intervalo $[0,360)$ entonces habría 3 soluciones (tantas como indica el índice de la raíz):
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Dato curioso. Si unes los afijos de estos 3 vectores, te sale un triángulo equilátero.

¡Un saludo!

[arreldepi]

Re: Numero complejo. Calcular argumento

Hola,

Hay un teorema que nos asegura que dado un complejo $z\neq 0$ existen $n$ complejos diferentes (raíces n-ésimas de $z$): $z_0,\; z_1,\ldots,\;z_{n-1}$ tales que:

$$z_k^n= z$$

Es decir, en tu caso, tendremos tres soluciones que satisfacen la ecuación $z=i^{1/3}$ o, lo que es lo mismo $z^3= i$.

Como tú dices,

$$i=\eee{i \frac \pi 2} = \eee{i\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)}$$

donde k=0,1,2 según el teorema. Es decir, hay 3 ángulos para los cuales la igualdad se satisface.

$$z^3 = \eee{i\left(\frac\pi 2 + 2k\pi\right)} \qquad\to\qquad z=\left( \eee{i\left(\frac\pi 2 + 2k\pi\right)}\right)^{1/3} = \eee{\frac i3\left(\frac\pi 2 + 2k\pi\right)} \qquad k=0,1,2.$$

Con lo cual,

$$\begin{aligned}&\theta_0 = \frac \pi 6 \\ & \theta_1 = \frac \pi 6 + \frac{2\pi}{3} = \frac{5\pi }{6}\\ & \theta_ 2 = \frac\pi 6 + \frac{4\pi}{3} = \frac{3\pi}{2}\end{aligned}$$

escrito de tal forma que $\theta\in[0,2\pi)$.

Con lo cual

$$z = \left\{\begin{aligned}&\eee{i\frac\pi 6} \\ & \eee{i\frac{5\pi}{6}}\\ & \eee{i\frac{3\pi}{2}}\end{aligned}\right.$$

Fíjate que es lo mismo que haberse preguntado, cuál es el argumento de $(4)^{1/2}$, obtendremos dos resultados, 2 y -2, (k=0,1), que podemos escribir como $2\eee{i0}$ y $2\eee{i\pi}$.

Saludos!

PD: Ups, no había visto la respuesta de Ángel!

[skinner]

Re: Numero complejo. Calcular argumento

Pero mi profesora de academia dijo que el ángulo inicial es $\dst \theta_0 = \pi/2$, en lugar de $\dst \theta_0 = \pi/6$

(estamos hablando del complejo $\dst z=i^{1/3}$)

De todas formas no entiendo vuestra explicación.

Primera duda que me surge: el complejo $\dst z=i^{1/3}$, ¿en qué forma está? (Binómica, Polar, o Euleriana)

Segunda duda, ¿cómo puedo calcular a y b (parte real e imaginaria respectivamente) a partir del complejo que puse arriba?

Y a partir de aquí y sin demasiado análisis, ¿cómo puedo calcular el ángulo inicial ($\dst \theta_0$) a partir de estos datos?

Mi profesora afirmó que $\dst z=i^{1/3}=\cos{\theta_0} + i\sin{\theta_0} \Rightarrow\theta_0=\pi/2$ pero yo no entiendo por qué hizo esto...

De todas formas adelanto que al profesora de academia lo único que hace es aprenderse los exámenes de memoria y a partir de ahí, da sus explicaciones... pero para mí no tiene criterio alguno (de hecho la otra vez le hice una pregunta sencillita y me respondió que "esto no es una cátedra de álgebra")

En fin, a ver si alguien puede ayudarme con esto porque me vuelvo loco, jeje

Un saludo y muchas gracias !

NOTA: No estoy pidiendo las raíces del complejo que puse arriba, sino cuál es su ángulo inicial (o argumento), es decir, el ángulo que el vector $\dst z=i^{1/3}$ forma inicialmente (k=0) con el eje +OX

[angel relativamente]

Re: Numero complejo. Calcular argumento

$\dst z=i^{1/3}=\cos{\theta_0} + i\sin{\theta_0} \Rightarrow\theta_0=\pi/2$

Esto es mentira. Mi calculadora que sabe más que tu profesora no dice eso Dice que:

$$i^{\dfrac{1}{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac 12 \cdot i$$

y es claramente comprobable que $\theta \neq \dfrac{\pi}{2}$

Segunda duda, ¿cómo puedo calcular a y b (parte real e imaginaria respectivamente) a partir del complejo que puse arriba?

Pues una vez has sacado sus tres soluciones por el método de mi 1er mensaje o el de arreldepi, tan solo has de usar:

$$z=\cos (\theta)+i\cdot \sin (\theta)$$

Mi calculadora da solo la solución en el primer cuadrante (con [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] ). Las otras dos del mismo modo las puedes sacar

Pero ahora quien no te entiende soy yo. Me has matado con lo de ángulo inicial, ¿te refieres al primero que hay de los 3 posibles en el intervalo [0,360)?
En ese caso, el método es el mismo solo que te sobraría con la solución:

$$i^{\dfrac{1}{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac 12 \cdot i$$

¡Un saludo!

[arreldepi]

Re: Numero complejo. Calcular argumento

Hola!

Duda 1: Lo que tienes es la raíz cúbica de un complejo escrito en forma binómica. De la misma forma podrías tener $(3+6i)^{1/7}$. Otra forma de escribirlo, usando la notación exponencial es escribir $\left(\eee{i\frac\pi 2 + 2ik\pi}\right)^{1/3}$, aquí tienes un complejo escrito en forma exponencial elevado a 1/3.

Segunda duda: Lo puedes calcular, mediante la fórmula de De Moivre

$$e^{in\theta_k}= \cos n\theta_k + i\sin n\theta_k,$$

pero para ello tendrás que haber calculado préviamente los $\theta_k$

Pero para hacer estos tipos de operaciones te recomiendo que no recurras a la fórmula binómica hasta el final, lo mejor es trabajar con las exponenciales.

Sobre el $pi/2$ que dice tu profesora, yo creo que está confundida, esa igualdad no tiene sentido

$$i^{1/3}\neq cos\pi/2 + i\sin\pi/2 = i$$

Si sólo te están pidiendo $\theta_0$, lo único que tienes que hacer es escribirlo en notación exponencial y aplicar la potencia de una potencia:

$$z_0=\left(\eee{i\frac\pi 2}\right)^{1/3} = \eee{i\frac\pi 6}$$

Saludos!


PD: Si alguna vez de piden calcular todas las raíces, un truco que puedes usar es saber que la suma de las raíces es 0. Si lo haces con las que te hemos dado verás que da 0, en cambio, con $\pi/2$ nope.

[arreldepi]

Re: Numero complejo. Calcular argumento

Rectifico una cosa: lo de la fórmula de De Moivre es un poco tontería usarlo en este caso xD, ya que si has calculado los $\theta_k$ ya no tendrás ninguna $n$ en el numerador. Usarías la fórmula de Euler y ya está.

[skinner]

Re: Numero complejo. Calcular argumento

Muchas gracias a los dos, ahora sí me he enterado. Me siento muy pleno en el sentido de que sois un buen foro que siempre está ahí, esperando fieles cualquier pregunta para dar lo mejor de vosotros en la respuesta. Realmente gracias.

EN cuanto a Angel Relativamente, yo me refería con lo de ángulo inicial al ángulo con k=0. Otra cosa es que tomes k=t y hagas un modelo físico del asunto :P

Un saludo!

[angel relativamente]

Re: Numero complejo. Calcular argumento

No hay de qué, a mi me ha servido para repasarme los complejos que apenas los recordaba

EN cuanto a Angel Relativamente, yo me refería con lo de ángulo inicial al ángulo con k=0. Otra cosa es que tomes k=t y hagas un modelo físico del asunto :P

He caído en ello después de ver la respuesta de Arreldepi, por eso he modificado el mensaje jeje.

PD: Suerte, a ver si consigues que te cambien a esa profesora

¡Un saludo!