1r ciclo Un par de dudas sobre complejos y matrices

[skinner]

Buenas a todos. Tengo una preguntilla acerca de números complejos:

En las transformaciones lineales, ¿tenemos que aprendernos las matrices que hacen cada giro, traslación, homotecia, etc.? ¿O existe alguna forma de deducirlas?

Otra pregunta, nada que ver con números complejos.

Dada una matriz $A$ (de 4x4, por ejemplo). ¿Cuál es el procedimiento general para calcular sus potencias? Es decir, ¿Cómo podría yo calcular la matriz $A^{2011}$? ¿Existe alguna forma mecánica? Esta pregunta suele ser una pregunta típica de cada convocatoria de exámenes de Álgebra.

Muchas gracias y un saludo!

[Fras]

Re: Un par de dudas sobre complejos y matrices

Hola skinner. Yo puedo ayudarte con lo último solamente.
De hecho, en mi academia hemos visto matrices, y no hay ninguna propiedad o fórmula para calcular las potencias de las matrices. Lo que se hace cuando el exponente es grande es deducir una "ley de formación", que depende de cada matriz... algo similar a calcular el término n-ésimo de una sucesión.

Un ejemplo sencillo:

$A = \begin{pmatrix}<br /> 1& 1 & 1\\<br /> 1& 1 & 1\\<br /> 1& 1 & 1<br /> \end{pmatrix}<br />$

Hallar ${A}^{101 }$

Haciendo ${A}^{2 }$ :

${A}^{ 2} =<br /> \begin{pmatrix}<br /> 3& 3 & 3 \\<br /> 3 & 3& 3\\<br /> 3& 3& 3<br /> \end{pmatrix} = 3A$

${A}^{3 } = A.{A}^{2 }= A.3A= 3.{A}^{2 }= 3.3A= {3}^{ 2}A$

Generalizando:

${A}^{n }= {3}^{n-1 }A$

Por lo tanto: ${A}^{101 }= {3}^{100 } A$

Espero que te haya servido.

Saludos.

[GNzcuber]

Re: Un par de dudas sobre complejos y matrices

Pero Fras, eso es demasiado particular .

Algo menos particular y que es a lo que seguro que se refiere, porque es lo más común es a la diagonalización de matrices.

Las matrices pueden representar aplicaicones y transformaciones lineales entre k-espacios vectoriales, con k un cuerpo o campo. Las aplicaciones lineales se llaman homomorfismos o simplemente morfismos. Supongamos la aplicación lineal $f$ y dos k-espacios vectoriales $E$ y $F$ de dimensión $n$ y $m$ respectivamente, podemos representar a $f:E\rightarrow F$ con la siguiente matriz asociada a $f$ respecto una base de salida $\mathcal{B}_1$ (base de $E$) y una base de llegada $\mathcal{B}_2$ (base de $F$).

$$\displaystyle <br /> M(f,\mathcal{B}_1,\mathcal{B}_2) = <br /> \left(\begin{matrix}<br /> a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\<br /> a_{21} & a_{22} & & \vdots \\<br /> \vdots & & \ddots & \vdots \\<br /> a_{m1} & \cdots & \cdots & a_{mn}<br /> \end{matrix}\right)$$

Si $\mathcal{B}_1 = (e_1,e_2,\ldots,e_n)$, podremos escribir la matriz anterior como $M(f,\mathcal{B}_1,\mathcal{B}_2)=\Big(C(f(e_1),\mathcal{B}_2),\ldots,C(f(e_n),\mathcal{B}_2)\Big)$, donde $C(f(e_i),\mathcal{B}_2)$ son las coordenadas de $f(e_i)$ en la base $\mathcal{B}_2$.

Como caso particular, tenemos las matrices cuadradas ($m=n$) que representan homomorfismos entre espacios vectoriales de igual dimensión. Y aún algo más particular es cuando esos espacios vectoriales coinciden, es decir $E=F$, a estas aplicaciones que van de ellas a sí mismas se les llama endomorfismos.

En general es demasiado complicado ver qué transformación hará una aplicación sobre un vector $v\in E$, pero podemos escoger una base $\mathcal{B}'_1$ tal que sea fácil de visualizarlo, es decir, que sea por ejemplo un múltiplo del vector. Lo que queremos es

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
El último paso es una propiedad de las aplicaciones lineales. Matricialmente se vería mejor. Por ejemplo, con $n=2$, con $M(f,\mathcal{B}_1)=\left(\begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{matrix}\right)$ y $v=\left(\begin{matrix}x\\ y\end{matrix}\right)$:

$$\displaystyle <br /> \left(\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x \\ y\end{matrix}\right) + <br /> \lambda\left(\begin{matrix}x \\ y\end{matrix}\right) = \left[\left(\begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{matrix}\right)+\lambda\left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{matrix}\right)\right]\left(\begin{matrix}x \\ y\end{matrix}\right)<br />$$

Bueno, ahora lo que queremos es encontrar los vectores que cumplen dicha condición, pero añadiremos que la solución sea no trivial, es decir, obviaremos el caso en que $v=\vec{0}$. Para ello calcularemos el determinante de la matriz de la nueva función ($f-\lambda id$) y la igualaremos a cero. Y ésta es

$$\displaystyle p_f(\lambda) = \left|\begin{matrix}<br /> a_{11}-\lambda & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\<br /> a_{21} & a_{22}-\lambda & & a_{2n} \\<br /> \vdots & & \ddots & \vdots \\<br /> a_{n1} & \cdots & & a_{nn}-\lambda<br /> \end{matrix}\right| = 0$$

Donde $p_f(\lambda)$ es el denominado polinomio característico de $f$. Si el polinomio característico descompone en factores lineales en k (el cuerpo*), y cumple otra condición que no mencionaré porque parece que aún no has hecho nada de Álgebra lineal, entonces según el Teorema de la diagonalización, existe una base $\mathcal{B}'_1$ de $E$ tal que la matriz $M(f,\mathcal{B}'_1)$ es diagonal.

Cuando estés más avanzado verás que hay matrices para los cambios de base (muy sencillas de calcular, hasta donde he llegado ) que son matrices cuadradas e invertibles. Si llamamos $P=M(\mathcal{B}_1,\mathcal{B}'_1)$ tendremos que $P^{-1}=M(\mathcal{B}_1,\mathcal{B}'_1)^{-1}=M(\mathcal{B}'_1,\mathcal{B}_1)$. Como son inversas $P\cdot P^{-1}=P^{-1}\cdot P=I_n$ (la identidad).

Así que si $A\in M_{n}(k)$ es una matriz diagonalizable, con diagonal $D\in M_{n}(k)$ tendrás:

$$\displaystyle A=P^{-1}DP$$

Y por lo tanto

$$\displaystyle \begin{aligned}<br /> A^s &= \left(P^{-1}DP\right)^s \\<br /> A^s &= P^{-1}DP\cdot P^{-1}DP\cdot P^{-1}DP\cdot \ldots^{(s} \cdot P^{-1}DP \\<br /> A^s &= P^{-1}D^s P<br /> \end{aligned}<br />$$

* Para que me entiendas un cuerpo es una estructura algebraica que cumple ciertas propiedades en las cuales no voy a entrar en detalle porque veo que está siendo mucha información para ti. Lo que te puedo decir, es que los reales y los complejos son cuerpos, así que la ecuación $p_f(\lambda)=x^2+1=0$ puede no tener solución y por lo tanto no poder expresarse en factores lineales (si $k=\mathbb{R}$, pero sí si $k=\mathbb{C}$).

¡Saludos!

[Fras]

Re: Un par de dudas sobre complejos y matrices

Pero Fras, eso es demasiado particular .

Lo siento, es que eso es lo que sé por ahora

Mejor me sumo a la pregunta

Saludos.

[skinner]

Re: Un par de dudas sobre complejos y matrices

Muchas gracias a los dos. Pod, todavía en tu post no conseguí una respuesta a mi pregunta, a ver si cuando lo termines puedes resolvérmela jeje.. y otra cosilla, no tengo tantos conocimientos asimilados por el momento (tiempo al tiempo) y por tanto me cuesta un poco sacar conclusiones de tu post. Si no fuera mucha molesta te agradecería un pelín menos de formalismo.

Las preguntas originales eran:

- ¿Hay que aprenderse de memoria las matrices que trasladan, giran puntos, rectas, etc?
- Dada una matriz A (la cual conocemos), ¿cómo podemos calcular A^(2011)?

Muchas gracias de nuevo

Un saludo

[Mister Kroket]

Re: Un par de dudas sobre complejos y matrices

La matriz diagonalizada cumple esto

$D=P^{-1} . A . P$ P es la matriz de cambio de base y D la diagonal

despejamos la matriz que nos interesa queda entonces $A=P^{-1} . D . P$


cuya potencia es $<br /> A^{2011}=(P^{-1} . D . P).( P^{-1} . D . P )(P^{-1}. A . P)\ldots (P^{-1} . D . P)$ al final despues de hacer todo eso quedará algo así $A^{2011} =P^{-1} D^{2011} P$

calcular la potencia 2011 de la matriz diagonal es muy fácil simplemente eleva cada elemento de la diagonal y para calcular la matriz cambio de base supongo que también sabes si no dimelo y te lo intento explicar

un saludo

[GNzcuber]

Re: Un par de dudas sobre complejos y matrices

Muchas gracias a los dos. Pod, todavía en tu post no conseguí una respuesta a mi pregunta, a ver si cuando lo termines puedes resolvérmela jeje..

Acostumbran a decirme GNzcuber .

y otra cosilla, no tengo tantos conocimientos asimilados por el momento (tiempo al tiempo) y por tanto me cuesta un poco sacar conclusiones de tu post. Si no fuera mucha molesta te agradecería un pelín menos de formalismo.

Por primer post en este hilo he supuesto que no sabías mucho de Álgebra lineal, mi post te serviría con conocimientos básicos en dicho tema (estructuras algebraicas, teoría de matrices, espacios vectoriales, aplicaciones lineales, cambios de base), y por ello he intentado poner algunos ejemplos y explicando el por qué, pero si no sabes nada de Álgebra de nada te servirá que te hubiese puesto la fórmula final.

A la primera pregunta que haces, si debes aprendertelas de memoria o se pueden deducir ... soy de los que piensan que las personas que las inventaron/descubrieron las han deducido de alguna manera y por lo tanto se pueden deducir. Otro tema es el esfuerzo que cueste deducirlo.

De todas formas, si no has hecho Álgebra lineal me pregunto a qué matrices te refieres exáctamente. Para la matriz correspondiente a un giro está en la Wikipedia por ejemplo.

¡Saludos!

[skinner]

Re: Un par de dudas sobre complejos y matrices

Perdón por haberte llamado Pod, no sé por qué me engañó la vista... jeje

Gracias por tu respuesta.

Un saludo