un corte muy corto

[alefriz]

Estoy tratando de resolver el siguiente problema pero no me sale, por si me podeis echar una mano (no al cuello por favor, jeje):

"Encontrar los extremos y la longitud del segmento de longitud mínima que divide a un triángulo T rectángulo e isósceles con catetos de longitud $a$, en dos polígonos de la misma área. Este segmento, ¿es único?"

Saludos.

[carroza]

Re: un corte muy corto

Hola.

Creo que es claro que uno de los poligonos debe ser un triangulo, y el otro un cuadrilatero.
La condicion es encontrar el segmento que define un triangulo de area $a^2/4$ (la mitad del inicial).

Puedes demostrar primero que, para un triangulo formado por dos rectas que se cortan con un angulo fijo, alfa, y un segmento que corta las dos rectas, el segmento de longitud minima para un area determinada del triangulo es el que define un triangulo isosceles, que forma, por tanto, un angulo (pi-alfa)/2 con cada una de las rectas.

El area de un triangulo construido de esa forma, en funcion de la longitud del segmento b, es
base (b) por altura ((b/2) tan((pi-alpha)/2)) partido por 2

$A = b^2 \tan((\pi-\alpha)/2)/ 4$

Ahora, vas a tu triangulo y trazas segmentos a partir de cada uno de los angulos.

Hay tres casos.

1) partes del angulo recto; alfa = pi/2; area del triangulo de lado b $b^2/4 = a^2/4$
$b = a$

2) partes de un angulo agudo alpha=pi/4; area del triangulo de lado b
$b^2 (1+\sqrt{2})/4 = a^2/4$

$b = 0.6436 a$


3) partes del otro angulo agudo; ta sale lo mismo que en 2)



$b = 0.6436 a$

[alefriz]

Re: un corte muy corto

Hola.

Creo que es claro que uno de los poligonos debe ser un triangulo, y el otro un cuadrilatero.
La condicion es encontrar el segmento que define un triangulo de area $a^2/4$ (la mitad del inicial).

Puedes demostrar primero que, para un triangulo formado por dos rectas que se cortan con un angulo fijo, alfa, y un segmento que corta las dos rectas, el segmento de longitud minima para un area determinada del triangulo es el que define un triangulo isosceles, que forma, por tanto, un angulo (pi-alfa)/2 con cada una de las rectas.

El area de un triangulo construido de esa forma, en funcion de la longitud del segmento b, es
base (b) por altura ((b/2) tan((pi-alpha)/2)) partido por 2

$A = b^2 \tan((\pi-\alpha)/2)/ 4$

Ahora, vas a tu triangulo y trazas segmentos a partir de cada uno de los angulos.

Hay tres casos.

1) partes del angulo recto; alfa = pi/2; area del triangulo de lado b $b^2/4 = a^2/4$
$b = a$

2) partes de un angulo agudo alpha=pi/4; area del triangulo de lado b
$b^2 (1+\sqrt{2})/4 = a^2/4$

$b = 0.6436 a$


3) partes del otro angulo agudo; ta sale lo mismo que en 2)



$b = 0.6436 a$

Gracias por la respuesta, porque yo lo habia planteado de una manera algo más complicada y no me salía.