1r ciclo Proyección ortogonal de un vector sobre un subespacio

[skinner]

Buenas. Tengo que resolver un ejercicio que dice:

"Halla la proyección ortogonal del siguiente vector sobre el subespacio que se indica"

El vector (hay que trasponerlo; es decir, yo lo doy como vector fila pero debe ser un vector columna) y el subespacio son:

v=[4 1 3 -2]
S={x1+x2+x3+x4=0}

No sé ni siquiera cómo empezar el ejercicio... por eso agradecería una respuesta razonada en cada paso.

Un saludo y muchas gracias por tu tiempo

[GNzcuber]

Re: Proyección ortogonal de un vector sobre un subespacio

Hola skinner,

Primero pensemos qué te están pidiendo a grandes rasgos. Si estuvieras en el plano y tuvieras una recta y un vector la proyección ortogonal sabrías cuál es ¿Verdad? Es el vector que resulta de proyectar el original por medio de rectas perpendiculares a la recta (que en este caso es el subespacio). Igualmente pasa para mayores dimensiones, teniendo un objeto su proyección ortogonal sobre una variedad (es un concepto más general que el de espacio vectorial, de hecho es un espacio vectorial con una traslación¹).

Para hacer esto deberemos descomponer el vector original en la suma de dos vectores, uno que sea ortogonal al subespacio y el otro paralelo (un vector será paralelo a un subespacio si éste puede generar el vector por medio de combinaciones lineales de una base).

Así que comencemos el problema, lo primero que debemos tener es el producto escalar definido, que como no pones ninguno supondré que es el estándar $\displaystyle \left(\left<a,b\right> = \left<\sum_{i=1}^n a_i,\sum_{j=1}^n b_j\right> = \sum_{k=1}^n a_k b_k\right)$, que matricialmente se representa como la matriz identidad.

Dos datos más que debemos tener son el vector (lo tenemos: $v=(4,1,3,-2)^t$), y la variedad, lo mejor es tener una base que la forme. En nuestro caso tenemos una ecuación con cuatro incógnitas, suponiendo que estamos en un espacio de dimensión 4 tenemos que la variedad tiene dimensión 3 (4 dimensiones menos una ligadura, la ecuación que relaciona las coordenadas). Hallemos una base de la variedad a partir de la ecuación:

$$\displaystyle \begin{aligned}<br /> S &= \{ x + y + z + t = 0 \} \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}<br /> x &= -y -z -t \\<br /> y &= y \\<br /> z &= z \\<br /> t &= t<br /> \end{aligned}\right. \Rightarrow \\ \Rightarrow <br /> S &= \{ (-y-z-t,y,z,t)\in \mathbb{R}^4 | y,z,t\in\mathbb{R} \} = <br /> \left< \underbrace{\left(\begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{matrix}\right)}_{u_1}, <br /> \underbrace{\left(\begin{matrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\right)}_{u_2},<br /> \underbrace{\left(\begin{matrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\right)}_{u_3} \right><br /> \end{aligned}<br />$$

Como $E=\mathbb{R}^4 = S \oplus S^\perp$ tenemos que $v = u + w,\, u\in S,\, w\in S^\perp$, como estamos en $\mathbb{R}^4$, $w=\alpha x + \beta y + \gamma z + \delta t$. El vector que buscamos es $u = v - w$, pero no lo podemos hallar directamente, sin embargo tenemos herramientas para hallar $w$, sabemos que es ortogonal a $S$, es decir es ortogonal a cualquier vector de $S$, en particular es ortogonal a los vectores que forman base y antes hemos hallado:

$$\displaystyle \left\{\begin{aligned}<br /> \left< u_1, w \right> &= -\alpha + \beta = 0 \Leftrightarrow \alpha = \beta \\<br /> \left< u_2, w \right> &= -\alpha + \gamma = 0 \Leftrightarrow \alpha = \gamma \\<br /> \left< u_3, w \right> &= -\alpha + \delta = 0 \Leftrightarrow \alpha = \delta<br /> \end{aligned}\right.<br />$$

Por lo que $w = \alpha (1,1,1,1)$, sabemos su dirección, nos faltará una ecuación para determinar completamente el vector (módulo y sentido).


Bueno, espero que a partir de aquí sepas cómo seguirlo, yo hace un año que no hago geometría, mañana intentaré repasarlo y si nadie lo ha hecho acabaré de responderte. Cuando halles dicho $\alpha$ tendrás que $u = v - w = (4,1,3,-2)^t - \alpha (1,1,1,1)^t$.


¡Saludos!

¹ Con esto quiero decir que el espacio vectorial es un caso particular de una variedad, es justamente la variedad con un vector de traslación nulo, por lo que el punto $O=(0,0,\ldots,0)$ pertenece a dicha variedad.

[skinner]

Re: Proyección ortogonal de un vector sobre un subespacio

Hola GNZcuber, para poder digerir completamente tu mensaje, desearía saber qué significa:

$E=\mathbb{R}^4 = S \oplus S^\perp$

Es que en mis apuntes también viene (en particular, mis apuntes aseguran que: $\mathbb{R}^{n}=S \oplus S^\perp$ )

¿Podrías explicarme esto un poquillo? (ya que en mis apuntes no me dicen qué significa, sólo lo pone y ya está; los apuntes son: éstos)

Un saludo. Muchas gracias por tu ayuda

[GNzcuber]

Re: Proyección ortogonal de un vector sobre un subespacio

Hola skinner,

Ahora me miraré tus apuntes a ver si puedo acabar el problema, pero primero a responder lo que necesitas.

¿Conoces la fórmula de Grassmann? "Sea $E$ un k-espacio vectorial y, $F$ y [/tex]G[/tex], dos subespacios vectoriales de $E$, se cumple la siguiente relación entre las dimensiones de estos espacios vectoriales"

$$\displaystyle \mathrm{dim}(E) = \mathrm{dim}(F) + \mathrm{dim}(G) - \mathrm{dim}(F\cap G)$$

La suma de las dimensiones de los subespacios vectoriales menos la dimensión de su intersección es la dimensión del espacio vectorial donde están contenidos. En particular, cuando $\mathrm{dim}(F\cap G) = 0 \Leftrightarrow F\cap G = \{\vec{0}\}$, se dice que los subespacios $F$ y $G$ están en suma directa, y lo denotamos así: $E=F\oplus G$.

En nuestro caso si consideras un espacio vectorial y su ortogonal claramente el único elemento en común será el $\{\vec{0}\}$, por lo que estarán en suma directa. Y cualquier vector del espacio vectorial se podrá poner como suma de vectores de ambos subespacios ortogonales de forma única.

¡Saludos!