1r ciclo El orden de los factores... ¿no altera el producto?

[skinner]

Esta propiedad nos la enseñaron los profes desde muy pequeños. En aquél entonces no trabajábamos con matrices, claro (por lo menos, yo no :P )

Pongo un ejemplo (espero que perdonéis mi escaso rigor científico)

Para escribir este mensaje, necesito ir pulsando tecla por tecla. Cada vez que pulso una tecla, aplico una fuerza sobre la misma, mientras ésta se desplaza hacia debajo. El trabajo que realiza uno de mis dedos cada vez que pulsa una tecla es de:

W = F·d·cos(0) -----> W=F·d

Este producto puedo expresarlo también así:

W=d·F

Sin mayor problemas, al tratarse de dos unidades escalares.

En segundos ciclos de Universidad, nos habituamos a trabajar con matrices. Y como ya se sabe, siendo A y B dos matrices:

A·B != B·A

Es decir, no es conmutativo.

A gran escala, si F es el conjunto de fuerzas que se realiza en un experimento, y d es una matriz de flexibilidad o de elasticidad, debido a las fuerzas F, ya no es cierto que:

W = F·d = d·F

Yendo al meollo de la cuestión: ¿cómo puedo saber en qué orden multiplico dos matrices físicamente hablando? ¿Por qué A·B pero no B·A?

Muchas gracias por el tiempo que os haya tomado leer y el que probablemente os tome responder

Saludos!

[skinner]

Re: El orden de los factores... ¿no altera el producto?

Por supuesto, A es de orden m x n, y B es de orden n x m

Un saludo!

[GNzcuber]

Re: El orden de los factores... ¿no altera el producto?

Hola skinner,

Posiblemente mi respuesta no sea nada satisfactoria pero la razón es justamente porque no está definido dicho producto (cosa que ya sabías). Cuando multipliques dos matrices tienes que hacerlo de manera que se puedan multiplicar, y en caso que sean cuadradas de la misma dimensión deberás recordartelo, o bien entender el significado (ésto último no soy capaz de hacerlo, de momento nunca se me ha dado dicho caso en Física).

¿Por qué tienes que hacerlo de manera que el producto esté definido? Pues, si piensas en lo que es una matriz es simplemente una notación donde almacenamos datos de una forma ordenada y de manera que podamos operar con ellas más fácilmente.

Recuerda que una matriz también la puedes representar como un sumatorio de un sumatorio. En ese caso ¿Por qué las filas deben ser justamente estas y no al revés? Simplemente porque para operar te interesa que sea de esa manera.


¡Saludos!

[skinner]

Re: El orden de los factores... ¿no altera el producto?

Estoy contigo. Pero imagina que una matriz de fuerzas tiene dimensión 4 x 2, mientras una matriz de desplazamientos tiene dimensión 2 x 4. Ambos productos están definidos:

fuerza · desplazamientos

ó

desplazamientos · fuerza

Es a eso a lo que me refiero, no sé si me entiendes..

Saludos

[GNzcuber]

Re: El orden de los factores... ¿no altera el producto?

Sí, te comprendo. Prefiero que alguien con mayor conocimiento y experiencia responda.

Lo único que puedo decirte es lo que sé, cuando haces estos productos obtienes o bien vectores en tres dimensiones o bien escalares. Si tuvieras las comonentes de una fuerza $\boldsymbol{F}=(f_1,f_2,f_3)^t$ y desplazamientos $\Delta \boldsymbol{r}=(r_1,r_2,r_3)^t$, entonces su producto, que sabemos que es el trabajo mecánico y por lo tanto un escalar debería darnos como tal:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Como los vectores se representan en columnas ni siquiera me he molestado en cambiarles el orden, sinó en cambiar la transposición. Como el producto escalar es conmutativo sería igual $W=\boldsymbol{F}^t\Delta \boldsymbol{r} = (\boldsymbol{F}^t \Delta \boldsymbol{r})^t = \Delta \boldsymbol{r}^t \boldsymbol{F} = W^t$, ya que $W\in\mathbb{R}$ y el transpuesto de un número es él mismo (se identifican con matrices $1\times 1$).

Para un producto vectorial sería diferente, ya que es anticonmutativo, pero sólo cambia el signo, pero ésto antes incluso de haber trabajado con vectores de forma matricial, debías recordar por ejemplo que

- $\vec{v} = \vec{\omega} \wedge \vec{r}$
- $\vec{L} = \vec{r} \wedge \vec{p}$

¡Saludos!

[skinner]

Re: El orden de los factores... ¿no altera el producto?

Muchas gracias GNZcuber. Entonces tú lo haces por "deducción" de unidades físicas. A mí sólo se me ocurría eso, por lo visto no soy al único

Un saludo!! Buenas noches