1r ciclo Calcular polinomio característico ?

[skinner]

Hola buenas. Como siempre aquí estoy, preguntando mis dudas. Esta vez vengo con una matriz de 4x4, para la cual se me hace muy complicado calcular su polinomio característico (paso previo a la diagonalización). Ésta es la matriz:

Fila 1: -1; 0; 2; -2

Fila 2: 4; 4; -1; -2

Fila 3: 4; 8; 4; -9

Fila 4: 4; 5; 1; -5

Lo siento, pero no sé usar matrices en LaTeX.

Hay alguna forma un poco menos tediosa (y más económica, en cuanto a tiempo se trata) que liarse a calcular el determinante de A-xI? (siendo x los autovalores)

Muchas gracias por vuestra ayuda.

Buen día!

[GNzcuber]

Re: Calcular polinomio característico ?

Hola skinner,

En los determinantes (para que vayas sabiendo, son aplicaciones multilineales, lineales con respecto a cada una de sus entradas) puedes sumar un múltiplo de una fila o columna y el determinante no cambia. Ya que equivale a multiplicarla por una matriz elemental de determinante unidad.

Espero que conozcas dicha propiedad: $|A\cdot E| = |A|\cdot |E| = |A| \cdot 1 = |A|$

El determinante que tienes relamente debería ser

$$\displayltyle p_f(x)=\left|\begin{matrix}<br /> x+1 & 0 & -2 & 2 \\<br /> -4 & x-4 & 1 & 2 \\<br /> -4 & -8 & x-4 & 9 \\<br /> -4 & -5 & -1 & x+5 <br /> \end{matrix}\right|=0$$

Multiplicamos por -1 cualquiera de las filas 2, 3 ó 4 y las sumamos a las otras, yo lo haré con la segunda:

$$\displaystyle <br /> p_f(x)=\left|\begin{matrix}<br /> x+1 & 0 & -2 & 2 \\<br /> -4 & x-4 & 1 & 2 \\<br /> 0 & -x-4 & x-5 & 7 \\<br /> 0 & -x-1 & -2 & x+3 <br /> \end{matrix}\right| = 0$$

Con los determinantes tienes permitido hacer operaciones por filas y luego por columnas o viceversa, así que para seguir simplificando sumaremos a la columna 3 la columna 4:

$$\displaystyle<br /> p_f(x) = \left|\begin{matrix}<br /> x+1 & 0 & 0 & 2 \\<br /> -4 & x-4 & 3 & 2 \\<br /> 0 & -x-4 & x+2 & 7 \\<br /> 0 & -x-1 & x+1 & 3 <br /> \end{matrix}\right| <br /> =$$

$$\displaystyle <br /> p_f(x) = (x+1)<br /> \left|\begin{matrix}<br /> x-4 & 3 & 2 \\<br /> -x-4 & x+2 & 7 \\<br /> -x-1 & x+1 & 3<br /> \end{matrix}\right| + 2 \left|\begin{matrix}<br /> -4 & x-4 & 3 \\<br /> 0 & -x-4 & x+2 \\<br /> 0 & -x-1 & x+1 \end{matrix}\right| <br />$$

Con matrices 3×3 ya puedes aplicar la regla de Sarrus o continuar con la regla de Chio para aplicar Laplace.

¡Saludos!

[skinner]

Re: Calcular polinomio característico ?

Ajá, ahora sí

Me sale $\dst p(\lambda)=(\lambda+1){(\lambda-1)}^{3}$

Muchas gracias por tu ayuda como siempre, se nota que controlas el tema.

Un saludo!

[GNzcuber]

Re: Calcular polinomio característico ?

También déjame contarte alguna técnica que he visto y siempre me ha sorprendido, por suerte la he podido demostrar así que sé cuándo se puede aplicar. Había visto un par de veces hacer a mi profesor lo siguiente:

$$\displaystyle \begin{aligned} <br /> p_f(x) &= \left| \begin{matrix}<br /> x-2 & 3 & 1 & 4 \\<br /> 2 & x+1 & 2 & 5 \\<br /> 0 & 0 & x-3 & 3 \\<br /> 0 & 0 & 1 & x+1<br /> \end{matrix}\right| \\<br /> &= \left|\begin{matrix}<br /> x-2 & 3 \\ 2 & x+1 <br /> \end{matrix}\right| <br /> \left|\begin{matrix}<br /> x-3 & 3 \\ 1 & x+1<br /> \end{matrix}\right|<br /> \end{aligned}$$

Fíjate que para poder hacerlo hay un menor de 2×2 en la parte inferior izquierda.

Ésto lo podrás hacer siempre que tengas una matriz cuadrada de dimensión $2^n\times 2^n$. Tanto si los ceros están en la posición que te he expuesto anteriormente como si está en la parte superior derecha y lo que se debe multiplicar dos determinantes de matrices cuadradas de dimensión $2^{n-1}\times 2^{n-1}$.

Ahorra un tiempo enorme si te llega a tocar esta situación .

¡Saludos!