1r ciclo Hacer un giro con centro (1,1)

[skinner]

Buenas. Me piden la expresión matricial del giro con centro en $(1,1)$ y ángulo $\pi/3 rad$

Sé que, matricialmente, un giro se representa así (x' e y' son las coordenadas después de girar; x e y son las coordenadas iniciales).

$x' = x\cos(\theta) + y\sin(\theta)$

$y' = -x\sin(\theta) + y\cos(\theta)$

Pero ¿cómo a partir de esas ecuaciones puedo obtener lo que me pide el enunciado?

Muchas gracias.

Buenas tardes

[GNzcuber]

Re: Hacer un giro con centro (1,1)

Hola skinner,

Las ecuaciones que has escrito (el sistema de ecuaciones) las puedes escribir matricialmente (aunque no sepas escribir matrices en $\LaTeX$ ¬¬):

$$\displaystyle <br /> \left(\begin{matrix} x' \\ y' \end{matrix}\right) = <br /> \left(\begin{matrix} cos(\theta) & \sin(\theta) \\ -\sin(\theta) & \cos(\theta) \end{matrix}\right)<br /> \left(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}\right)<br />$$

Si ahora quieres un giro de $\theta = \pi/3\,\mathrm{rad}$, simplemente sustituye y te quedará:

$$\displaystyle <br /> \left(\begin{matrix} x' \\ y' \end{matrix}\right) = <br /> \left(\begin{matrix} \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix}\right)<br /> \left(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}\right)<br />$$

¡Saludos!

[Editado] = Por cierto, esta rotación es alrededor de $O=(1,1)$, no sé cómo se hace en otro punto, aunque puedo deducir que es de la siguiente manera y me gustaría que alguien pueda decir si es correcto o no, y saber si te suena :P.

Para hacer un giro podemos hacer un cambio de coordenadas y que el punto $(1,1)$ lo trasladamos a $(0,0)$, por consiguiente cualquier punto $P=(x,y)$ pasará a ser $P_1=(x-1,y-1)$, luego de hacer la rotación, cualquier punto $P'_1=(x',y')$ le volvemos a hacer la traslación pero inversa, es decir, que $(0,0)$ pase a ser nuevamente $(1,1)$ por lo que tendríamos que $P'_1=(x'_1,y'_1)\rightarrow P'=(x',y')=(x'_1+1,y'_1+1)$.

Matricialmente:

$$\displaystyle <br /> \left(\begin{matrix} x' \\ y' \end{matrix}\right) = <br /> \left(\begin{matrix} \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix}\right)<br /> \left(\begin{matrix} x-1 \\ y-1 \end{matrix}\right)+<br /> \left(\begin{matrix}1 \\ 1\end{matrix}\right)<br />$$

[natanael]

Re: Hacer un giro con centro (1,1)

Para hacer un giro podemos hacer un cambio de coordenadas y que el punto $(1,1)$ lo trasladamos a $(0,0)$, por consiguiente cualquier punto $P=(x,y)$ pasará a ser $P_1=(x-1,y-1)$, luego de hacer la rotación, cualquier punto $P'_1=(x',y')$ le volvemos a hacer la traslación pero inversa, es decir, que $(0,0)$ pase a ser nuevamente $(1,1)$ por lo que tendríamos que $P'_1=(x'_1,y'_1)\rightarrow P'=(x',y')=(x'_1+1,y'_1+1)$.

Matricialmente:

$$\displaystyle <br /> \left(\begin{matrix} x' \\ y' \end{matrix}\right) = <br /> \left(\begin{matrix} \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix}\right)<br /> \left(\begin{matrix} x-1 \\ y-1 \end{matrix}\right)+<br /> \left(\begin{matrix}1 \\ 1\end{matrix}\right)<br />$$

Simplemente Hermoso!, si no tienes razón sería un error del firmware del universo, o yo voy a tener que estudiar más .

[skinner]

Re: Hacer un giro con centro (1,1)

Gracias GNZcuber! Sí, esa es la solución que se da en la solución.

Por cierto, a ver si me pasas algún tutorial de LateX porque no sé cómo manejar matrices en él. Y seguramente haya muchas opciones de las que no puedo disfrutar, porque tan sólo sé manejarlo a nivel usuario.

Un saludo!

[Cat_in_a_box]

Re: Hacer un giro con centro (1,1)

Hola skinner,

Por cierto, a ver si me pasas algún tutorial de LateX porque no sé cómo manejar matrices en él. Y seguramente haya muchas opciones de las que no puedo disfrutar, porque tan sólo sé manejarlo a nivel usuario.

Puedes ver algo de matrices aquí y aquí.

Saludos,