1r ciclo Rango de una matriz

[kuvala]

Hola Buenas :

Tengo el siguiente ejercicio y también su resolución, la cual no entiendo. A ver si alguien me pudiese dar un enfoque de cómo poder hacerlo y sobre todo, que lo entienda xD

Enunciado:
"Sabiendo que el rango de una matriz A, 3x3 es 3, determina el rango de una matriz

$\begin{pmatrix}<br /> A& {A}^{ 2} \\<br /> I& 2A<br /> \end{pmatrix}$"

En la resolución pone lo siguiente:

"Puesto que A es una matriz cuadrada que tiene rango máximo, A tiene inversa y, por tanto, mediante ciertas operaciones elementales (por filas) sobre la matriz A podemos obtener la matriz identidad. Al hacer dichas operaciones elementales sobre la matriz $[A|{A}^{2 }]$ obtendremos la matriz $[I|A]$ puesto que hacer dichas operaciones fila sobre una matriz M es lo mismo que multiplicar dicha matriz, por la izquierda, por la inversa de A dando como resultado ${A}^{ -1}M$. Por tanto, al hacer las operaciones fila citadas sobre nuestra matriz obtenemos:

$\begin{pmatrix}<br /> A& {A}^{ 2} \\<br /> I& 2A<br /> \end{pmatrix}$ $\to$ $\begin{pmatrix}<br /> {A}^{ -1} & 0 \\<br /> 0& I<br /> \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix}<br /> A& {A}^{ 2} \\<br /> I& 2A<br /> \end{pmatrix}$=$\begin{pmatrix}<br /> I& {A}^{-1 }{A}^{2 } \\<br /> I& 2A<br /> \end{pmatrix}$= $\begin{pmatrix}<br /> I& A \\<br /> I& 2A<br /> \end{pmatrix}$ $\to$ $\begin{pmatrix}<br /> I& 0 \\<br /> -I& I<br /> \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix}<br /> I& A \\<br /> I& 2A<br /> \end{pmatrix}$= $\begin{pmatrix}<br /> I& A \\<br /> 0& A<br /> \end{pmatrix}$

Por tanto, el rango de la matriz dada es 6"

No entiendo la explicación, en concreto:

- ¿Qué matriz es M? ¿Una cualquiera?

- ¿Por qué hacer esas operaciones fila en la matriz es lo mismo que multiplicarla por la inversa por la izquierda?

- En las matrices de la resolución, no sé de donde obtiene por ejemplo la matriz $\begin{pmatrix}<br /> {A}^{ -1} & 0 \\<br /> 0& I<br /> \end{pmatrix}$

Muchas gracias.

Un Saludo

[GNzcuber]

Re: Rango de una matriz

Hola kuvala,

¿Qué matriz es M? ¿Una cualquiera?

La matriz $M$ es una matriz cuadrada cualquiera, pero invertible.

¿Por qué hacer esas operaciones fila en la matriz es lo mismo que multiplicarla por la inversa por la izquierda?

Se define matriz elemental como la matriz cuadrada invertible que sólo hace una operación, y esta operación puede ser una de las siguientes (voy a usar en particular la dimensión $n=3$, por simplicidad y así podré poner un ejemplo que lo clarifique):

$$\displaystyle P(1,2)\in M_3(k),\quad P(1,2)\equiv <br /> \left(\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right)$$

$$\displaystyle D(2,\lambda)\in M_3(k),\lambda\neq 0,\quad D(2,\lambda)\equiv <br /> \left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right)$$

$$\displaystyle E((1,3),\mu)\in M_3(k),\quad E((1,3),\mu) \equiv <br /> \left(\begin{matrix} 1 & 0 & \mu \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix}\right)$$

Las operaciones por fila equivalen a multiplicar una matriz elemental por la izquierda y las operaciones por columna equivale a multiplicar una matriz elemental por la derecha. Supongamos la siguiente matriz cuadrada

$$\displaystyle A=\left(\begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix}\right)$$

Los resultados de ser multiplicada por la izquierda (transformaciones elementales por fila) y por la derecha (transformaciones elementales por columna) por las distintas matrices es:

$$\displaystyle \begin{aligned}<br /> P(1,2)A &= \left(\begin{matrix} d & e & f \\ a & b & c \\ g & h & i \end{matrix}\right) & <br /> AP(1,2) &= \left(\begin{matrix} b & a & c \\ e & d & f \\ h & g & i \end{matrix}\right) \\<br /> D(2,\lambda)A &= \left(\begin{matrix} a & b & c \\ \lambda d & \lambda e & \lambda f \\ g & h & i \end{matrix}\right) &<br /> AD(2,\lambda) &= \left(\begin{matrix} a & \lambda b & c \\ d & \lambda e & f \\ g & \lambda h & i \end{matrix}\right) \\<br /> E((1,3),\mu)A &= \left(\begin{matrix} a + \mu g & b + \mu h & c + \mu i \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix}\right) &<br /> AE((1,3),\mu) &= \left(\begin{matrix} a & b & c + \mu a \\ d & e & f + \mu d \\ g & h & i + \mu g \end{matrix}\right)<br /> \end{aligned}$$

Estas matrices son invertibles y sus inversas son fácilmente visibles. Una matriz cuadrada invertible cualquiera puede ser descompuesta como producto de matrices elementales. Así que si tú quieres a la matriz $A$ primero multiplicar por 4 la fila 2, luego permutar la fila 1 y 2, y por último sumarle a la fila 1, la 3 multiplicada por 2, debes multiplicar $A$ por:

$$\displaystyle \begin{aligned}<br /> A' &= E((1,3),2)P(1,2)D(2,4)A \\<br /> &= \left(\begin{matrix} 0 & 4 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right)A<br /> \end{aligned}$$

Observa que el orden del producto es inverso al que describo, eso es porque la multiplico por la izquierda y la primera matriz en "producir su efecto" es justamente la anterior a $A$.

En las matrices de la resolución, no sé de donde obtiene por ejemplo la matriz $\displaystyle \left(\begin{matrix} A^{-1} & 0 \\ 0 & I \end{matrix}\right)$

De ningún lado, simplemente se fija qué operaciones quiere hacer para triangular la matriz, como las matrices elementales son invertibles, y por consiguiente su producto, éstas no alteran el rango de otras matrices de rango inferior.

¡Saludos!

[skinner]

Re: Rango de una matriz

Oye, ¿y no se podría "tratar" a las matrices como "números" de la siguiente manera?

$\begin{pmatrix}<br /> A& {A}^{ 2} \\<br /> I& 2A<br /> \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix}<br /> I& A \\<br /> I& 2A<br /> \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix}<br /> I& A \\<br /> 0& A<br /> \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix}<br /> I& A \\<br /> 0& I<br /> \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix}<br /> I& 0 \\<br /> 0& I<br /> \end{pmatrix}$

De manera que hicimos las operaciones siguientes: Restar a la Fila 2 la Fila 1 multiplicada por A^{-1}; Multiplicar la Fila 2 por A^{-1}; Restar a la Fila 1 la Fila 2. De esta manera obtenemos escalonada por filas equivalente, cuyas diagonales son dos matrices identidad (cuyas diagonales son todos 1). Por tanto, la matriz resultante debe ser de rango 6.

¿Estaría mal planteado?

Un saludo y gracias

[GNzcuber]

Re: Rango de una matriz

Hola skinner,

De hecho es lo mismo que se hizo el profesor de kuvala, fíjate que tú dices hacer operaciones por filas, cuando yo le he mostrado anteriormente que multiplicando matrices por la izquierda haces operaciones por filas.

Pero en tu planteamiento parecería más arte de magia que en el del profesor .

¡Saludos!

P.D.: No hace falta el último paso, ya que lo que quieres ver es el rango de la matriz, y con escalonarla o hacerla diagonal inclusive tienes suficiente.