Secundaria Dependencia lineal de ecuaciones

[Nabla]

¡Muy buenas!

Por definición, una ecuación depende linealmente de otras ecuaciones si la primera puede expresarse como una suma de las segundas multiplicadas por números reales distintos de cero. Hasta aquí todo va bien.

Mi duda reside en si existe un procedimiento para hallar tal dependencia. A ver si me explico mejor con un ejemplo: si tenemos las ecuaciones $2x-y=7$ (a la que llamaremos $A$) y $-x+y=3$ (a la que llamaremos $B$), cómo podemos ser capaces de determinar la dependencia (o independencia) existente entre éstas y la ecuación $7x-y=57$ (a la que llamaremos $C$)

Por medio de tanteo, podemos intuir que $6A+5B=C$

No obstante, quiero saber si existe alguna forma de llegar a esta conclusión de manera matemática, es decir, si existe algún tipo de algoritmo para hallar esta solución.

Muchas gracias de antemano

¡Un saludo!

Nabla.

[[Beto]]

Re: Dependencia lineal de ecuaciones

Hola, solamente tendrías que usar el método de Gauss-Jordan, de la siguiente manera:

$$<br /> \begin{pmatrix}<br /> 2&-1&|&7\\<br /> 1&-1&|&\mathbf{3}\\<br /> 1&-1&|&57<br /> \end{pmatrix}<br />$$

y luego comparar analizar el rango de esa matriz, si es menor al numero de ecuaciones, entonces una de las ecuaciones depende de las otras dos.

[angel relativamente]

Re: Dependencia lineal de ecuaciones

Este mensaje no tiene mucho aporte de información, pero con las ecuaciones que has dado $6A+5B \neq C$

[Cat_in_a_box]

Re: Dependencia lineal de ecuaciones

Hola nabla,

Una cosa, creo que te has confundido al escribir la relación que existe entre las ecuaciones:

$$6A+5B=6(2x-y-7)+5(-x+y-3)=12x-6y-42-5x+5y-15$$

Por tanto, la ecuación C que has puesto, debería ser:

$$C=7x-y-57$$

Te lo digo porque si haces el determinante de la matriz resultante, no da cero en tu caso, por lo que las ecuaciones no serían linealmente dependientes. Para ver que éstas depende linealmente, podrías expresar el sistema de ecuaciones en forma matricial y calcular el determinante. Si te da cero, como en el caso que te pongo ahora, las ecuaciones son linealmente dependientes:

$$\begin{aligned}<br /> 2x-y&=7\\<br /> -x+y&=3\\<br /> 7x-y&=57<br /> \end{aligned}$$

Eso mismo lo puedes expresar en forma matricial de la siguiente forma:

$$<br /> \begin{pmatrix}<br /> 2&-1& 7\\<br /> -1& 1&3 \\<br /> 7&-1& 57<br /> \end{pmatrix}$$

Si calculas el determinante de la matriz de orden 3x3 que tienes:

$$\left|\begin{matrix}<br /> 2&-1& 7\\<br /> -1&1&3 \\<br /> 7&-1& 57<br /> \end{matrix}\right|=\boxed{0}$$

Calculas el determinante por Sarrus o por menores y verás que el resultado es cero, lo cual implica que las ecuaciones son linealmente dependientes. En el caso que tú habías puesto, con la ecuación:

$$C=x-y=57$$

El determinante no es igual a cero, luego no son linealmente dependientes:

$$\left|\begin{matrix}<br /> 2&-1& 7\\<br /> -1&1&3 \\<br /> 1&-1& 57<br /> \end{matrix}\right|=\boxed{60\neq 0}$$

Saludos,

[Cat_in_a_box]

Re: Dependencia lineal de ecuaciones

¡Vaya! Mira que soy lento contestando...

Por cierto, [Beto], se te han colado un par de errores al poner la matriz, en concreto en la segunda fila, debería ser (-1 1 3) y no (1 -1 1) como has puesto

Saludos,

[[Beto]]

Re: Dependencia lineal de ecuaciones

¡Vaya! Mira que soy lento contestando...

Por cierto, [Beto], se te han colado un par de errores al poner la matriz, en concreto en la segunda fila, debería ser (-1 1 3) y no (1 -1 1) como has puesto

Saludos,

Listo, ya lo corregí

[Nabla]

Re: Dependencia lineal de ecuaciones

¡Gracias a todos!

Tenía entendido que se averiguaba por medio de determinantes, pero no estaba muy seguro de ello.

PS: Ya está corregido el error, me colé y no puse el 7