1r ciclo Ecuación matricial?

[skinner]

Buenas a todos. En Métodos Matemáticos estoy estudiando cómo Matlab realiza la operación de resolver un sistema de ecuaciones mediante eliminación gaussiana (pues según la primera regla del cálculo numérico, no puede resolverlo calculando la inversa de la matriz de coeficiente pues conlleva un notorio costo computacional, y una elevada posibilidad de arrastrar errores)

Así pues, me hallo calculando la factorización LU de una matriz A cuadrada, siendo uno de sus pivotes nulo. De esta forma debo recurrir a la Pivotación parcial. Tras hacer cálculos, llego a: (sea $P$ la matriz de paso ortogonal, es decir,$P^{-1}=P^T$)

$$M_{3}M_{2}PM_{1}A=U$$

Mi problema llega cuando intento despejar el producto $PA$ para dejarlo de una forma tal que así:

$PA=LU$ donde $L$ será una combinación de multiplicaciones, inversas etc. de las matrices $M_1$, $M_2$ y $M_3$

Necesito hacer esto para poder identificar $L$

Un saludo y muchas gracias

[beliytxuri]

Re: Ecuación matricial?

Hola skinner.

A ver si ésto te ayuda:

Partimos de

$M_{3}M_{2}PM_{1}A=U$

Por simplificar llamemos $D=M_{3}M_{2}PM_{1}$.

Así $DA=U \Rightarrow A={D}^{-1 }U \Rightarrow PA=P{D}^{ -1}U$

Entonces, tu matriz $L=P{D}^{ -1}$

Y desarrollando ${D}^{ -1}$ se obtiene el siguiente resultado:

$<br /> L=P{{M}_{1 } }^{-1 } {P}^{-1 }{{M}_{2} }^{-1 } {{M}_{3} }^{-1 } <br />$

No sé si ésto es lo que necesitabas, porque esa ${M}_{1 }$ ahí puesta enmedio, la verdad es que no tiene muy buena pinta e impide la cancelación de las matrices $P$. (A no ser que la susodicha ${M}_{1 }$ sea de una forma especial: diagonal, por ejemplo, que permita su conmutación).

Un saludo.

[skinner]

Re: Ecuación matricial?

Hola beliytxuri, explicaré con más detalle a ver si me he equivocado yo (es lo más probable)

Partimos de la matriz (perdona que no sepa ponerla en LaTeX):

Fila 1) 2; 4; 0; 1
Fila 2) 1; 2; 1; 0
Fila 3) 2; 3; 2; 1
Fila 4) 4; 6; 1; 2

Para poder hacer ceros debajo del primer elemento, necesito multiplicar por una matriz $M_1$. Esta matriz será triangular inferior con unos en la diagonal (para dejar intacta la primera fila) obteniendo para $M_1$:

Fila 1) 1 ; 0; 0; 0
Fila 2) -0.5; 1; 0; 0
Fila 3) -1 ; 0; 1; 0
Fila 4) -2 ; 0; 0; 1

Así, multiplicando $M_1$ por $A$ obtengo la matriz $A^{(1)}$:

Fila 1) 2; 4 ; 0; 1
Fila 2) 0; 0 ; 1; 0
Fila 3) 0; -1; 2; 0
Fila 4) 0; -2; 1; 0

Ahora,puesto que la Fila2) contiene un pivote nulo, uso la Pivotación Parcial para subir el más grande de la columna en su lugar; es decir, intercambio Filas 2 y 3; para ello debo multiplicar por una matriz P, que no es más que la matriz Identidad con las filas 2 y 3 cambiadas:

Fila 1) 1; 0; 0; 0
Fila 2) 0; 0; 1; 0
Fila 3) 0; 1; 0; 0
Fila 4) 0; 0; 0; 1

Al hacer ahora el producto $PA$ (¡para cambiar las filas de $A^{(1)}$) obtengo la matriz $A^{(2)}$, que es igualita a la $A^{(1)}$ pero con las filas 2 y 3 intercambiadas. La matriz $A^{(2)}$ me queda:

Fila 1) 2; 4 ; 0; 1
Fila 2) 0; -1; 2; 0
Fila 3) 0; 0 ; 1; 0
Fila 4) 0; -2; 1; 0

Buscando otra matriz $M_2$, y luego otra $M_3$, llego finalmente a la matriz $U$:

Fila 1) 2; 4 ; 0; 1
Fila 2) 0; -1; 2; 0
Fila 3) 0; 0 ; 1; 0
Fila 4) 0; -0; 0; 0

(Ahora estoy observando que la última fila es entera de ceros y por tanto el pivote es nulo; no sé cómo proceder aquí)

Entonces la trayectoria que hemos seguido para obtener $U$ ha sido:

$$\boxed{M_{3}M_{2}PM_{1}A=U}$$

Y de aquí es de donde procede la matriz $M_1$ y las demás.

¿El proceso es equivocado? ¿Cómo afecta el último cero pivote de la diagonal en $U$?

Mil gracias y un saludo!!

[skinner]

Re: Ecuación matricial?

¿Puede alguno de vosotros echarle un mínimo vistazo (no hace falta leer las matrices) a mi razonamiento y decirme qué es lo que está fallando?

Un saludo

[Al2000]

Re: Ecuación matricial?

Bueno, yo no creo que te pueda ayudar mucho, mas que haciéndote algunas preguntas:

- ¿Por qué no pivoteaste la matriz original para usar el mejor (mayor valor absoluto) pivote?

- ¿Cómo obtienes la matriz M1?

- ¿Se supone que M1xA debe dar A(1)? Pregunto porque

$\dst M_1 A =<br /> \begin{pmatrix}<br /> 2 & 4 & 0 & 1 \\<br /> 0 & 0 & 1 & -0.5 \\<br /> 0 & -1 & 2 & 0 \\<br /> 0 & -2 & 1 & 0 <br /> \end{pmatrix}<br />$

- ¿Sabes que si das doble-click en una fórmula $\LaTeX$ puedes copiar el código? Arriba te queda la plantilla para la matriz.

- Entiendo que si te queda toda una fila de puros ceros la matriz original es singular, que no es el caso aquí (|A| = -3).

Saludos,

Al

[beliytxuri]

Re: Ecuación matricial?

Suscribo todas las observaciones de Al2000.

Y sobre todo la que se refiere a la elección inicial del pivote.

Si lo que se pretende es que en la expresión final $PA=LU$, la matriz $L$ quede únicamente en función de las ${M}_{i }$, el único modo de conseguirlo es intercambiando primeramente las filas (columnas) de la matriz A, para que, al final, quede una expresión del tipo:

$(\prod_{i = 1}^3 {M}_{i })PA =U$

de la cual sí se despeja fácilmente $PA =LU$ con $L$ dependiendo únicamente de las ${M}_{i }$.

Un saludo y repasa la matriz ${M}_{1 }$A con ese ${m}_{ 2,4}= -0.5$.

[skinner]

Re: Ecuación matricial?

Gracias por avisar del error que cometí en la matriz (lo de -0.5) pues ahora sí me da correcto.

A las pregunta de Al2000:

1) porque no me permiten el pivoteo total: complicaría el asunto. Matlab utiliza el pivoteo total para evitar grandes errores de redondeo, pero los cálculos los hacemos a manos y sería más tedioso.

2) La matriz M1 son resultado del método de eliminación gaussiana. Puesto que calcular A^(-1) y multiplicar por (b) tendría (además de un alto costo computacional) unos grandes errores de redondeo, Matlab (y programas al efecto) utilizan el método de encontrar matrices M1, M2, ... tales que al ser multiplicadas por A, A^(1), A^(2), ... vayan originando "ceros" bajo el pivote correspondiente. Esto se consigue con una matriz diagonal inferior, con "unos" en la diagonal. El resto de elementos se calculan a ojo viendo resultados. Te recomiendo, dado que este es un tema importante, mirar el siguiente articulo (concretamente ve a la página 3/52)

3) Llevabas razón, por eso no me salía la factorización. Gracias!

4) Ahora lo tengo claro, no se acuesta uno sin saber nada nuevo. Gracias de segunda.

5) Al igual que en (3), llevas toda la razón, mi razonamiento no era consistente para nada. Es el primer ejercicio que hago espero que se entienda. Gracias de tercera

Por último, esta va dedicada a beliytxuri: no tiene por qué desaparacer la matriz P, recuerda que multiplicar por P sólo supone un cambio de filas (hablando técnicamente, no conlleva ningún flop)

Gracias de cuarta a ambos!

Un saludo a los dos.

[beliytxuri]

Re: Ecuación matricial?

Gracias por el artículo.